微分方程式との類推による再帰の解法
私はこの問題に遭遇しました：
シーケンスをしましょう $u_n$ その最初の用語によって定義されます $u_0 > 0$ そして $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ の漸近式を見つける $u_n$。
方程式との類推で解けると思いました $$f' = \frac{1}{f}$$ これは漸近式を与えます $u_n \sim \sqrt{2 n}$、そしてこれは確かに正しい答えです。
より一般的には、 $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$、連続的で正の減少関数の条件は何でしょうか $f$ 微分方程式との類推の方法が正しい漸近式を与えるように？
どうもありがとう ！
回答
以下のコメントに記載されているように、この答えは正しくありません
仮定 $y$ 微分方程式の解です $y' = f(y)$、および $u_n$ 再発を解決します $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ と $u_0 = y(0)$。平均値の定理により、すべての人に$n$、が存在します $c \in [n,n+1]$ そのために $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ なぜなら $f$ 減少している、私たちは持っています $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ さて、 $w_n$ 満たす $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$、および $w_0 = y(1)$。私たちは帰納的にそれを見つけます$u_n \leq y(n) \leq w_n$。特に、不平等が成り立つ場合、$n = k$、その後 $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ と不平等 $y(k+1) \geq u_{k+1}$ 同様に見ることができます。
これで、次のように結論付けることができます。 $f$ 再発するようなものです $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ すべてに同じ漸近解析があります $u_0 > 0$、その後、シーケンスの漸近解析が続きます $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ ソリューションから生成された $y' = f(y)$ と $y(0) > 0$ 同じだ。