ボレル集合とベール集合
（1）コンパクトなハウスドルフ空間があるとします。 $X$可算ベースで。ボレル代数はなぜですか$\mathcal{B}(X)$ （ $\sigma$-開集合によって生成されたフィールド）とBaire代数 $\mathcal{B}a(X)$ （ $\sigma$-コンパクトによって生成されたフィールド $G_\delta$セット）等しい？これの証拠はどこにありますか？
（2）今それを仮定します $X$数え切れないほどの基盤があります。その場合、$\mathcal{B}(X)$ そして $\mathcal{B}a(X)$もう一致していません。ベール集合を考慮することで、ボレル集合のいくつかの病状を回避できることを私は知っています。それらの病状は何ですか？また、ベアではないボレル集合の例は何でしょうか？
回答
最初のケースでベール集合とボレル集合が一致することを確認するには、ベール集合の生成集合（コンパクト）に注意するだけで十分です。 $G_\delta$）は常にボレル（コンパクトはハウスドルフ空間で閉じていることを意味します）であるため、ベア $\subseteq$簡単にボレル。で、もし$O$ 開いているコンパクトの可算和集合として書くことができます $G_\delta$ セットなので、開いているすべてのセットはベアにあります $\sigma$-フィールドなので、すべてのボレル集合もそうです。（2番目の可算ハウスドルフコンパクトは完全に正常などを意味します）
より一般的に何がうまくいかないかを確認するには、 $X=\omega_1 + 1$これはコンパクトなハウスドルフですが、第二可算ではありません。初期化、$\{\omega_1\}$ は閉じていますが（ボレル）、ベイルではありません（ハルモスは、測度論で、コンパクトセットがベイルであると証明しています。 $G_\delta$このシングルトンはそうではありません）。デュドネの測定$X$は定期的ではないボレル測度ですが、ベール集合で作業する場合は定期的です。ハルモスの本、またはトポロジー測度論におけるフレムリンの広範な研究を参照してください。ベール集合を取ると、統合などを行うのに十分な数の集合が得られ、規則性の観点からより適切に動作する測定値が得られます。