分散凸リスク尺度

Question

私が本当に苦労しているこの質問について、あなたが私を助けてくれることを願っています。分散は凸型のリスク尺度ですか？そうではないと思いますが、反例を見つけるのは本当に難しいと思います。

これが私の考えです。私は次の例を見つけようとしました：$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$。そんなこと知ってる$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$。

さて、相関が最大の場合、その場合 $corr(X,Y)=1$ その後：$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$。

しかし、これがより大きい例はまだ見つかりません $\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$。

ヒントを教えていただけますか？とても感謝しています。

Answer 1

最大の相関の場合を考えてみましょう。次のような値を見つけようとしています

$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

または

$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

または

$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$

または

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$

または

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$

これは明らかに決して真実ではありません $0\leq\lambda\leq 1.$ LHSは最大相関の場合に最大になるため、次のようになります。

$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$

分散は凸型のリスク尺度です。