分析関数は無限大で（サブ）指数関数的に消失します
しましょう $f$ 上部の複素半平面で実軸まで連続する解析関数であり、 $a>0$。関数\ begin {equation} \ zeta \ in \ mathbb {C} ^ + \ rightarrow f（\ zeta）\ mathrm {e} ^ {-ia \ zeta} \ in \ mathbb {C} \ end {equation }自体は制限されています。直感的には、指数の絶対値は$|z|\to\infty$、これには $f$ 指数がより大きく、少なくとも指数関数的に減衰する $a$、で $|z|\to\infty$; たとえば、次のような関数$f(\zeta)=\mathrm{e}^{ib\zeta}$、 $b>a$ そのような機能の任意の組み合わせと同様に、トリックを実行します。
この条件を満たす半空間の分析的有界関数のクラスは、実際にはもっと大きいか、および/または何らかの形で特徴付けることができるのだろうか。
回答
制御された成長を伴う正則関数は、通常、一般化された関数の積分変換の理論に現れます。たとえば、指数関数によって右半平面で有界な正則関数のクラスを考えてみましょう。$$ \mathscr{LH}_a\triangleq\big\{ f\text{ is holomorphic for }\Re\zeta>-a \text{ and } |f(\zeta)|\le Ce^{-L|\zeta|},\; \Re \zeta>0\big\}.\label{1}\tag{1} $$ いくつかのための $L>0$ （関数の規則性については何も想定していません $f$ ために $\Im \zeta=0$）。
（[2]p。400およびp。403）分析関数であることが証明できます。$f$ 属する $\mathscr{LH}_a$それがラプラス超関数のラプラス変換である場合に限り：そしてクラス\ eqref {1}の反時計回りの回転まで$\pi/2$ そのメンバーの定義域の、上半平面で有界で実軸上で連続である正則関数のクラスを厳密に含みます。 $f$ 上半平面で境界があり、実軸で連続している場合、 $f(-i\zeta)\in\mathscr{LH}_0$。
このクラスの関数に関するこの「現代的な」特性とは別に、トルステンカーレマンは、上半平面と下半平面に囲まれた関数を使用して、一般化フーリエ変換を定義しました。彼の結果はモノグラフに収集されます[1]。
参考文献
[1] Thorsten Carleman、L'intégraledeFourieretquestions qui s'y rattachent（French）、Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler、1、Uppsala。119ページ （1944）、MR0014165、Zbl0060.25504。
[2] EunguLeeおよびDohanKim、「ラプラスハイパー関数」、積分変換および特殊関数、19：6、399-407（2008）、MR2426730、Zbl1186.46042。