ブライトウィグナー式の導出
私は素粒子物理学における共鳴のためのブライトウィグナー公式のこの導出を検討してきましたが、QMの私の知識とステップを調和させることはできません。
初期状態は次の式で与えられます。
$$ \psi(t)=\psi(t=0)e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}}$$
ここに私の最初の質問があります：
- 位置への依存は無視されていますか？もしそうなら、なぜですか？
次に、それは述べられています
$$\textrm{Prob}(\textrm{ find state } |\psi\rangle)\propto e^{-\frac{t}{\tau}} $$
- 状態を見つける $|\psi\rangle$どこ？当時の$t$？これは何を意味するのでしょうか？
これをフーリエ変換することで、これをエネルギー領域に変換できます。 $\psi(t)$：
$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt}$$
そして私達は得る
$$f(E)= \dfrac{i\psi(0)}{(E_0-E)-\frac{i}{2\tau}}$$
- 範囲がで始まる場合、これがフーリエ変換であるのはなぜですか $0$ ではなく $-\infty$？
- なぜこれが有効なのですか？私は位置空間から運動量空間への変換に慣れていますが、時間エネルギーはQMで行ったことがないものです。
- さらに、時間固有状態は何ですか？位置と勢いについては$|x\rangle$ そして $|p\rangle$、しかし時間のために？
その後、手順が続行され、状態を見つける確率が $|\psi\rangle$ エネルギーで $E$ によって与えられます
$$|f(E)|^2=\dfrac{|\psi(0)|^2}{(E_0-E)^2+\frac{1}{4\tau^2}} $$
- あるべきではない $|f(E)|^2\textrm{d}E$？
回答
未公開のテキストを使ったシャドーボクシングだと思います。すべての優れたQMテキストがこれをカバーしていますが、何に問題があるのかわかりません。状態は$$ \psi(t)=\psi(0)~e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}},$$ したがって、減衰しない確率は単調に減少します。 $$ |\psi(t)|^2 / |\psi(0)|^2 = e^{-t/\tau}, $$標準的な指数関数的減衰の法則。そのような粒子の数を掛けて、例えば放射性物質の塊のバルク生存確率を得ることができます。
（1,2）考えられる空間依存性は、崩壊とは無関係であるため、統合されています。状態は空間のどこにでも存在する可能性があり、その崩壊は空間の考慮事項の影響を受けません。事前にすべての空間積分を行うことを検討してください。したがって、波動関数の2乗は、宇宙全体でその状態が存在する確率であり、確率空間密度ではありません。状態はハミルトニアン固有状態ですが、固有値は実数ではないことに注意してください。$E_0-i/2\tau$、ハミルトニアンはエルミートではないからです。したがって、時間の測定を開始したときに、初期確率1の一部として状態が存在する確率は、無限の時間で0まで減少します。
（3）その場合、時間範囲は[0、$\infty$）、そしてそれはあなたが統合するものです、それであなたは半分のフーリエ変換だけをしています、なぜなら完全なフーリエ変換はあなたを無限の値に戻すでしょう（duh！）そしてあなたは開始と比較した生存確率だけを監視したいのです時間0。
（4）有効ですか？これは正式な操作です。$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt} = \dfrac{i\psi(0)}{(E-E_0)+\frac{i}{2\tau}} ~,$$状態のスペクトル分解を提供し、テキストの非公開アプリケーションで役立ちます。それは本質的に問題の不安定状態の伝搬関数であり、減衰の振幅を提供します。
（6）確かに、通常 $|f(E)|^2$E、ローレンツ、またはコーシー分布の確率密度に対応します。これらの（完全な）FTは、ご覧のとおり、$\propto e^{-|t|/\tau}$、その半分をここで使用しています。
（5）あいまいです...時間はパラメータです。