ブラケット番号とカバー番号

Question

このスライドの9ページにある見出語が正しいかどうかを再確認したいだけです。 http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf

補題： $N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $

証明：もし $f$ の中に $2\epsilon$-ブラケット $[l,u]$、それからそれは半径のボールにあります $\epsilon$ 周り $(l+u)/2$。

証明の意味は、 $2\epsilon$-ブラケットカバー $\cal F$、このセットは半径のボールのセットでもあります $\epsilon$ それはカバーすることができます $\cal F$。半径の他のボールのセットがあるかもしれないので$\epsilon$ それはカバーすることができます $\cal F$、カバー番号はブラケット番号より大きくありません。

これまでに見つけた教科書で同じ結論を見つけられなかったので（この結論があまりにも些細なことであるかどうかはわかりません）、それが正しいか間違っているかを言う自信はありません。誰かが私を教えてくれたら本当にありがたいです！

Answer 1

括弧自体がそうではないことを除いて、あなたの精緻化は本質的に正しいです $\|\cdot\|$-ボール。

場合 $[l,u]$ は $2\epsilon$-ブラケット、それからそれはに含まれています $\|\cdot\|$-半径のボール $\epsilon$ を中心に $(l+u)/2$、以来 $l \le f \le u$ 意味する $$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$

したがって、のカバー $2\epsilon$-ブラケットは、より大きなカバーと交換できます $\epsilon$-$\|\cdot\|$-同じカーディナリティのボール。