ブラウン運動

Question

場合 $A_t$ そして $B_t$ 独立したブラウン運動であり、 $a$ は数です、私たちはそれを言うことができます $(\sin a )A_t+ (\cos a) B_t$ ブラウン運動でもありますか？

Answer 1

場合 $A_t$ そして $B_t$ 独立したブラウン運動であり、 $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ 中心化されたガウス過程です（独立性のため、 $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ 法律があります $N(0,(\sin(a)^2+\cos(a)^2)t)=N(0,t)$ 固定で $t$）そしてプロセスの共分散は

$$K(s,t)=\operatorname{Cov}(\sin(a)A_s+\cos(a)B_s,\sin(a)A_t+\cos(a)B_t)=\sin(a)^2s\wedge t+\cos(a)^2s\wedge t+0=s\wedge t$$

どこ $s\wedge t$ （最小 $s$ そして $t$）は、 $A_t$ そして $B_t$ ブラウン運動と $0$ という事実から来ています $A_t$ そして $B_s$ 独立しています。

私たちはそれを示しました $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ 共分散を伴う中心ガウス過程です $K(s,t)=s\wedge t$。定数による乗算は連続性を維持し、2つの連続関数の合計は連続的であるため、明らかに軌道は連続的です。これはブラウン運動の特徴であるため、そうです、これは間違いなくブラウン運動です。