超幾何関数の漸近展開 ${}_3F_2$ 大きなパラメータの場合

Question

私の研究では、次の超幾何関数に遭遇しました。 $${}_3F_2(2,1+n,1+n;1,2+n;z)$$ どこ $0<z<1$。大規模な動作に興味があります$n$。片対数プロットは、$n$しかし、漸近展開の表現を導き出すのに苦労しています。ユデル・ルークによる1969年の巻への言及はたくさんあります。上記の式に適合する結果を得るために、スキャンしても役に立ちませんでした。私は単なるコンピューター科学者であり、超幾何関数に関する文献に精通していません（これは非常に広範囲に及ぶようです）。助けていただければ幸いです。

Answer 1

以下は、単純な関数に関する閉じた形式の評価です。しましょう$y=z/(z-1).$ 次に $${}_3F_2(2,n,n;1,n+1;z)=n(-z)^{-n}\Big((n-1)\big(\log(1-y)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \big) + y^n \Big)$$ ポッホハマー記号のプロパティを使用してこれを証明しました。これにより、次の線形結合が得られます。 ${}_2F_1.$ 次に、線形変換を使用して引数から取得しました $z$ に $y.$その級数を操作して、対数と有限の合計を与えることができます。変数$y$は常に負ですが、小さい場合、合計は急速に収束します。これをコンピューターに置く場合は、大きなネガに注意してください$y,$ これは $z$1に近い。有限和では、おそらくペアごとに項を追加します。の場合$z\sim 1$ ケースはあなたの最も重要なケースです、そしてそれはおそらくこれについてもう少し考える価値があります。

追加：の合計 $z\sim 1$「対数級数および関連する三角関数の合計に関連する漸近展開」、G。Fikioris＆P。Andrianesis、J。Classにある展開によって実行できます。Analysis vol 7＃2、（2015）113-127。$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \sim y^n\sum_{k=0}^\infty \frac{A_k(y)}{(y-1)^{k+1}} \frac{1}{n^{k+1}} \, ,n \to \infty $$ どこ $A_k(y)$ オイラー多項式であり、 $A_0(y)=1$ そして $A_1(y) = y.$