直交ヘテロダインが負の周波数から情報を取得する方法を理解する
SDRがどのように機能するかを理解する方法として、受信機入力があります。これは通常、エーテルから信号を取り込むアンテナに接続されています。その入力は2つのミキサー（線形乗算器）に接続され、両方のミキサーで同じLO周波数で混合されますが、2つのLO信号は90°位相がずれています。これにより、一般にIおよびQと呼ばれる2つの出力信号が生成されます。Iは「同相」信号を表し、Qは「直交」または90°位相がずれた信号を表します。
次に、関心のある変調された（たとえば音声で変調されたAM）周波数がある場合、LOをキャリア周波数に調整できます。ヘテロダインの原理により、ベースバンド周波数のみを処理する必要があります。これははるかに簡単です/デジタル化する方が安い。
ここで、単一のミキサーのみでヘテロダインした場合、キャリア周波数とベースバンド周波数の差が得られるため、上側波帯はゼロからベースバンド周波数の上限までの周波数、および下側波帯として表示されます。それに対するミラーイメージとして表示されるため、負の周波数になります。
負の周波数をどのように処理しますか？FWIU、これが直交（Q）ヘテロダインの出番です。どういうわけかLO周波数を90度シフトすることにより、Qミキサーからの出力には下側波帯に存在した情報が含まれます。
これは私が理解/視覚化するのに苦労していることです。オイラーの公式がこれに含まれていると確信しており、提示されればおそらく数学に従うことができます（そして、誤解しないでください、私も数学を見ることに興味があります）が、これがどのように視覚化するのが難しいですか？そうすることができます。
まず、90º離れた2つのLO信号について説明します。しかし、どれがどれであるかを決定するのは何ですか？つまり、入力信号を一方のLO出力のみと混合した場合、入力信号はその違いを認識せず、どちらの場合も、キャリアとベースバンドの周波数に違いが生じます。コサイン波の正弦波でヘテロダインした場合でも同じように見えます。これは、これらの波形のいずれかがキャリアに対してどの位相角になるかを誰が知っているのでしょうか。それは何でもかまいません。少なくとも従来のスーパーヘテロダインラジオでは、それは問題ではありませんでした。
では、なぜ私は「同相」信号なのですか？何と同相？キャリア？しかし、前の段落の推論に続いて、なぜこれが問題になるのでしょうか？
回答
負の周波数は、「反対方向」の正の周波数です。
透明なホイールがあり、その内側の端の近くに黒いディスクがあると想像してください。ここで、ホイールの直径を横から照らして、ディスクの影が壁に現れると想像してみてください。ホイールを回すと、壁の影が正弦波状に上下するのを見ることができます。壁の影の高さと時間の関係をグラフ化すると、正弦波の周波数、つまりホイールの回転の周波数がわかります。しかし、その影から記録したものは、ホイールが時計回りに回転していたのか反時計回りに回転していたのかを知ることはできませんでした。
次に、ホイールの上に（ホイールの平面内で最初のライトから90°の角度で）2番目のライトを追加し、下のテーブルに影を落としたと想像してください。この影も、他の影と同じ速度で、ただし90°の位相シフトで正弦波パターンで移動します。この影だけを見ると、まったく同じ周波数情報を復元できます。
ただし、両方のシャドウを同時に記録した場合、一方のシャドウの「正のピーク」がもう一方のシャドウより90度進んでいる場合と、90度遅れている場合があります。実際、1つのケースはホイールが時計回りに回転している場合で、もう1つのケースはホイールが反時計回りに回転している場合です。 （どの軸を「最初の」軸として定義するか、どの方向を正として定義するか、またはどの方向を時計回りとして定義するかは関係ありません...選択してそれに固執する限り。それらのうち、結果の符号を交換します）。
したがって、正弦と余弦はどちらも2次元で起こっていることの1次元投影です。どちらか一方だけでは「正」の周波数と負の周波数を区別できませんが、どちらの場合も正と負の周波数の動作が異なり、このプロパティを使用して、以下でダウンミックスされた周波数から情報を復元できます。 1つだけを使用した場合に発生するエイリアシングの問題に遭遇することなく「ゼロ」。
いくつかの簡単な定義：角周波数の正弦波 $\omega$ およびフェーズ $\varphi$ 当時の $t$ は：
$$ \cos(\omega t + \varphi ) $$
次に、シナリオを考えてみましょう。LOを備えた理想的なミキサーがあります。 $\omega = 1$ と可変位相、そして私たちはで出力を生成したい $\omega = 0.3$。ミキサーへの入力で、次のいずれかを使用してそれを実行できることがわかっています。
- $\omega = 0.7$ （なぜなら $1 - 0.7 = 0.3$）、または
- $\omega = 1.3$ （なぜなら $1.3 - 1 = 0.3$）。
さて、あなたの質問を少しリフレーミングするかもしれませんが、最初のケースでは、入力がLOを下回っているため、どういうわけか負の周波数が得られると言われています。2番目のケースでは、入力がLOを上回っているため、正の周波数が得られます。問題は、周波数が正か負かをミキサーがどのように「知る」ことができるかということです。
混合する可能性のある4つの方法を検討します。
- LOの下の入力、LOフェーズ= 0
- LOより上の入力、LOフェーズ= 0
- LOの下の入力、LOフェーズ= $-\pi/2$
- LOより上の入力、LOフェーズ= $-\pi/2$
最初のケース：LOの下の入力、LOフェーズ= 0
数学的には、これは
$$ \cos(t) \times \cos(0.7 t) $$
それをプロットします：
これが実際に高周波数の正弦波に低周波数の正弦波を重ね合わせた出力を生成することを確認するのは十分に明白です。さて、私たちは実際には低周波数の項（1-0.7）にのみ関心があります。私達はより低い頻度の項が持っていることを知っています$\omega = 0.3$、それはフェーズとは何ですか？目で見てみると、0のように見えます。それでは、低周波数の項を使用して、もう一度プロットしてみましょう。$\cos(0.3 t + 0)$ 含まれるもの：
だから私たちは言うことができます：
$$ \cos(t) \times \cos(0.7 t) = {\cos(0.3t + 0) \over 2} + \dots $$
ここに、 $\dots$ この例ではあまり気にしない、より高い周波数の項を示します。
2番目のケース：LOより上の入力、LOフェーズ= 0
$$ \cos(t) \times \cos(1.3 t) = {\cos(0.3t + 0) \over 2} + \dots $$
もちろん、より高い周波数の項は変更されましたが、 $\omega=0.3$私たちが興味を持っている用語はまったく同じです。これから負の周波数と正の周波数を区別する方法はないようです。
3番目のケース：LOの下の入力、LOフェーズ= $-\pi/2$
$$ \cos(t-\pi/2) \times \cos(0.7 t) = { \cos(0.3t - \pi/2) \over 2 } + \dots $$
OK、まだあります $\omega = 0.3$出力が、フェーズが変更されました。LOのフェーズも変更されたため、これは理にかなっています。先に進む...
4番目のケース：LOより上の入力、LOフェーズ= $-\pi/2$
$$ \cos(t-\pi/2) \times \cos(1.3 t) = { \cos(0.3t + \pi/2) \over 2 } + \dots $$
前のケースと同様ですが、位相が180度反転しています。入力がLOを上回ったか下回ったかによって、ミキサーの出力の位相が変化するようです。
結論
同じ位相の2つの正弦波を乗算する場合、出力はミキサーへの入力がLOの上にあるか下にあるかに依存しません。
ただし、LOとミキサー入力の位相が90度ずれている場合、入力がLOの上にあるか下にあるかに応じて、出力が反転するかどうかが決まります。
IQミキサーが周波数が正か負かを「知る」ことができるのは、この違いです。また、この違いが、虚数乗法が画像周波数を処理せずに周波数をシフトできる理由を説明しています。
IQミキサーは、同じ信号にそれぞれ90度位相がずれた2つのLOを乗算すると、入力信号（実関数）を複雑な関数に効果的に変換します。乗算$\cos(\omega_\text{LO}t)$ 実数部を生成し、 $\sin(\omega_\text{LO}t)$ 虚数部を生成します。
これを複素平面にプロットすると考えると、90度離れた2つの正弦波は円をトレースします。
残念ながらオンラインではなくなった画像ソース
信号をLOの反対側に移動して、これらの関数の1つを反転し、他の関数を反転しない場合、結果は同じ円をトレースしますが、反対方向に回転します。
純粋に実関数が必要な場合、必要なのは反対方向に回転する2つの円です。一緒に追加すると、正しいフェーズで、それらの想像上の部分がキャンセルされ、実際の部分だけが残ります。
そして、他の方向の同じ論理、純粋に実際の関数から始める場合、「内部」では、2つの円が反対方向に回転し、正と負の周波数に対応します。
実世界（単一DOF測定）の負の周波数は、他の周波数より下で発生する正の周波数と呼ばれるものです。
ベースバンドを超えると、そのLSB信号は実際には負ではなく、基準周波数（キャリア）よりも低くなります。
同相信号だけでは、何に対しても同相ではありません。これは、2番目の（直交）信号に関連するフェーズを持っているだけです。他の信号（2）が90度遅れて一致する場合（たとえば、遅延が半周期未満）、前の信号（1）が同相信号です。他の信号（2）が半周期以上遅れると、他の信号（2）と同じように半周期未満早くなり、他の信号（2）は同相信号になります。
RF信号がベースバンドまで単独で変調されると、そのLSBはUSBとエイリアスするため、両方の側波帯が1つの信号に混合されます。また、厳密に実数の信号（DC以外）をFFTすると、複素共役鏡像が表示されます。そして、LSBデータから元の（ミキシング前の）USBを区別することはできません。
直交変調されてベースバンドになると、2つの信号が得られます。
周波数の異なる2つの正弦波を（乗算によって）混合すると、2つの入力周波数の差にビートノートが表示されます。ビートノートのゼロ交差は、2つの正弦波が一時的に90度離れている場合に表示されます。たとえば、一方の正弦波のピークが他方のゼロ交差とほぼ同時に発生します。ビートノートのピークは、2つの正弦波のピークが整列するか、反対方向に移動するときに発生します。次にどちらが発生するか（同じまたは反対のピークアラインメント）は、入力信号と変調信号の周波数の差が正（高い）か負（低い）かによって異なります。
直交変調されてベースバンドになると、2つの「ビートノート」の結果が得られます。1つはI用、もう1つはQ用です。LSB信号からの2つの「ビートノート」の位相差は、（同じオフセットの）USB信号からの2つの「ビートノート」の位相差の位相差と反対になります。 。
したがって、IQベースバンド信号の複雑なFFTは、2つの異なる「ビートノート」の位相差により、厳密な共役鏡像ではないため、2つの異なる側波帯を区別できます。
したがって、FFTの結果、または同様のプロセスを確認することで、どちらかのサイドバンドを「取得」できます。
あまり数学的な答えではないこの文：「次に、関心のある変調された（たとえば音声で変調されたAM）周波数がある場合、LOをキャリア周波数に調整できます。ヘテロダインの原理により、今は対処するだけで済みます。ベースバンド周波数。デジタル化がはるかに簡単/安価です。」 LOが「同じ周波数」に調整されている場合、LO位相が重要になります。 LO位相をキャリア位相に対して0度に調整すると、同期AM検出器が得られます。出力は、搬送波の振幅、つまりAM変調がオンになっているDC電圧になります。位相が90度の場合、（平均）DC出力はゼロになり、AM変調に依存しません。位相/周波数変調がある場合、出力は位相オフセットにキャリア振幅を掛けたものに比例します。（これを使用してLOを位相ロックできます。）SDRの世界では、LOがキャリアに近いため、位相がゆっくりと回転します。つまり、AMコンポーネントとFMコンポーネントはIとQの間で回転します。AMを検出するには、位相がatanである間に、Iの2乗+ Qの2乗の平方根を計算します（IとQをフィルタリングして不要な周波数を除去した後）。 （Q、I）。周波数は、時間の経過に伴う位相の変化です。それはFM検出器を与えます。これは、LOが目的の変調信号の搬送周波数から離れている場合にも機能します。AMを検出するには、位相がatan（Q、I）であるのに対し、Iの2乗+ Qの2乗の平方根を計算します（IとQをフィルター処理して不要な周波数を除去した後）。周波数は、時間の経過に伴う位相の変化です。それはFM検出器を与えます。これは、LOが目的の変調信号の搬送周波数から離れている場合にも機能します。AMを検出するには、位相がatan（Q、I）であるのに対し、Iの2乗+ Qの2乗の平方根を計算します（IとQをフィルター処理して不要な周波数を除去した後）。周波数は、時間の経過に伴う位相の変化です。それはFM検出器を与えます。これは、LOが目的の変調信号の搬送周波数から離れている場合にも機能します。
実際、サンプルレートFのIとQのペアは、情報やS / N比を失うことなく、サンプリングレート2 * Fの2倍のサンプルの単一ストリームに変換できます。これは、デジタルだけでなくアナログの世界でも行うことができます。
SDRには通常、振幅と時間の関係を示す1つのA / Dコンバータがあります。これは、毎秒80メガサンプルのデータストリームである可能性があります。1MHzの帯域幅で7MHzのデジタルバンドパスフィルターを適用してから、サンプリングレートを2MHzに下げることができます。別の方法として、直交位相で2つのミキサーを適用して、80 MHzのサンプリングレートでIとQの2つの信号を取得し、次に2つのローパスフィルターDCを1 MHzに適用してから、1MHzでIとQにダウンサンプリングすることができます。2番目の戦略は、CPU（fpga）の負荷の点ではるかに有利であることが判明したため、これを使用しますが、両方のプロセスは同等です。