調和振動子の基底状態の縮退

Aug 21 2020

私はシドニー・コールマンのビデオと講義ノートをフォローしていました。彼は、スピンがスピンのz成分のさまざまな値に対応する基底状態に縮退を導入する一方で、固有の基底状態にはスピンのない調和振動子が必要であると主張しました。

非ゼロスピン量子調和振動子の基底状態の縮退がどのように現れるかを誰かが説明できますか?

回答

3 Philip Aug 21 2020 at 10:10

縮退は、システムに特定のエネルギーレベルに対して複数の状態がある場合に発生します。三次元調和振動子を考えると、エネルギーは次の式で与えられます。

$$E_n = (n_x + n_y + n_z) \,\hbar \omega + \frac{3}{2},$$

どこ $n_x, n_y$、および $n_z$ は整数であり、状態は次のように表すことができます。 $|n_x, n_y, n_z\rangle$。基底状態を除くすべての状態が縮退していることが簡単にわかります。

ここで、粒子にスピンがあると仮定します(たとえば、スピン-$1/2$)。この場合、システムの全体的な状態は、それを記述するために4つの量子数を必要とします。$n_x, n_y, n_z,$ そして $s$、粒子のスピンであり、(この場合)2つの値を取ることができます$|+\rangle$ または $|-\rangle$。ただし、スピンはハミルトニアンのどこにも現れないため、エネルギーの表現には現れないため、両方の状態になります。

$$|n_x, n_y, n_z, +\rangle \quad \quad\text{and} \quad \quad |n_x, n_y, n_z, -\rangle$$

ある明確な、しかしそれにもかかわらず、同じエネルギーを持っています。したがって、ゼロ以外のスピンがある場合、基底状態は非縮退ではなくなります。

2 SuperfastJellyfish Aug 21 2020 at 10:27

1D調和振動子ハミルトンは次の式で与えられます。 $$H=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$ どこ $\omega$ は頻度であり、 $n$ 自然数です。

ご覧のとおり、ハミルトニアンはスピンとは無関係です $s$。つまり、スピンとエネルギーを同時に観測/定義することが可能です。さらに、それは各エネルギーレベルを意味します$n$ 持てる $2s+1$可能なスピン値。したがって、各レベルは基底状態を含めて縮退しています($s=0$)。