代替分散式の理解に役立ちます

Question

私が慣れている分散の定義は次のとおりです。

$$\Sigma_s{(x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})p(x_i,y_i)}$$

しかし、私はこのようなものを見ました、そして私はそれらがどのように同等であるかを見るのに苦労しています。

$$\Sigma_x \Sigma_y (x+y)^2 P_{XY}-(E(x+y))^2$$ ソース

Answer 1

あなたがリストした最初の項目はの共分散です $x_i$ そして $y_i$。あなたがリストした2番目の式はの分散です$x+y$ （すなわち $Var(x+y)$）。

これを確認するには、次のように書くことができます。 $Cov(X,Y)$ なので：

\ begin {eqnarray *} {Cov（X、Y）}＆=＆E（XY）-E（X）（EY）\\＆=＆\ sum x_ {i} y_ {i} p_ {XY}（x_ {i}、y_ {i}）-\ sum x_ {i} p（x_ {i}、y_ {i}）\ sum y_ {i} p_ {XY}（x_ {i}、y_ {i}）\ \＆=＆p_ {XY}（x_ {i}、y_ {i}）\ left（\ sum x_ {i} y_ {i}-\ sum x_ {i} \ sum y_ {i} \ right）\\ ＆=＆\ sum（x_ {i}-\ bar {x}）（y_ {i}-\ bar {y}）p_ {XY}（x_ {i} y_ {i}）\ end {eqnarray *}

リストした2番目の式は、[差異]セクションでハイパーリンクしたソースから派生しています。

2つの式は同等ではありません。