で定義された距離空間に関する質問 $\mathbb{Q}$。
検討する $\mathbb{Q}$すべての有理数の集合である。定義済み$d(p,q)=|p-q| $。では、次の説明のうち正しいものはどれですか？
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$ 閉じています。
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ 閉じています。
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ コンパクトです。
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$ コンパクトです。
それで私はそれについて考えていました、ここでオプション4はこれが制限されていないので真実ではありません。ですから、コンパクトではありません。したがって、ここで4のセットを示すことができれば、1は閉じられていないと思います。これは、補集合であるためです。$\mathbb{Q}$ いくつかのオープンセットを結合する $\mathbb{R}$。
他のステートメントについては、「距離空間が完全で完全に制限されている場合、距離空間はコンパクトである」という一般的な基準を使用できます。しかし、私はこれを行うためにいくつかの助けが必要です。
回答
1.を書くことができます $\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$ これは、と交差する実際の開集合（開区間が開いている）です。 $\Bbb Q$、セットがで開いているように $\Bbb Q$。また、で閉鎖されています$\Bbb Q$ 次のように書くこともできるからです $\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$、同様の理由で閉鎖されています。
2は、次のように記述できるため閉じられています。 $\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$ そしてその要素として $2$それの内部のポイントではありません、それは開いていません。
3未満のセットは、2未満のセットとまったく同じであるため、実際に閉じているので、これも制限されているため、コンパクトにすることができます。しかし、実際にはそうではありません。不合理なものを選ぶことができるからです。$p$ セットの「内」（たとえば $\sqrt{3}$ する）そして一連の有理数を見つける $q_n$ に収束するセット内 $p$ 実数で（これはいつでも実行できます）。しかし、その後、シーケンス$(q_n)_n$ コーシーです（結局、実数では収束します）が、では収束しません $\Bbb Q$（収束できる唯一のポイントはセットにありません）。そのため、セットはコンパクトではありません。コンパクトではない（おそらくまだカバーしていない）より深い理由は、距離空間内のコンパクトな可算集合には孤立点が必要であり、この集合には孤立点がないためです。しかし、不完全性（または収束サブシーケンスのないシーケンスがあるという関連する事実）を使用して、より基本的なレベルでコンパクト性に反論することができます。
4の場合、すべての距離空間で、「$A$ コンパクト $\implies$ $A$閉じて制限されています。ハイネ・ボレルは、のサブセットに当てはまる逆含意です。$\Bbb R^n$ユークリッド距離で。その「力」は、コンパクトさをすばやく証明することです。しかし、常に有効な含意は、コンパクト性を簡単に反駁するために使用できます。4は例です。制限がないため、非コンパクトはどの距離空間でも有効な推論です。
セット $A$ 距離空間のすべてのシーケンスがコンパクトである場合 $A$ 限界がに属する収束部分列を持っています $A$。シーケンス$\{1,2,3,..\}$ は、収束部分列を持たない特定のセット内のシーケンスであるため、4）のセットはコンパクトではありません。
別の方法として、次の事実を使用できます $\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$ 有限のサブカバーのないセットのオープンカバーです。