です $\frac{u}{|u|}$ 1-リプシッツ？

Question

アプリケーションが $\{s\in \mathbb{R}^3:|s|\geq 1\} \to S^2 ,u\mapsto \frac{u}{|u|}$ 定数のリプシッツです $1$。追加した場合（$\frac{u|u|-u|u}{|u||v|}|$）、定数が等しいことがわかります $2$（使用されるノルムはユークリッドノルムです）。そうじゃない？$1$-リプシッツ？

ありがとうございました

Answer 1

です $1-$ リプシッツ。 $|\frac u {|u|} -\frac v {|v|}|^{2}=1+1-2\frac {u.v} {|u||v|}$ そして $|u-v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}-2u.v$ または $2(u.v) (1-\frac 1 {|u||v|}) \leq |u|^{2}+|v|^{2} -2$。CS不等式を適用すると、リプシッツプロパティは次のようになります。$2ab(1-\frac 1 {ab}) \leq a^{2}+b^{2}-2$ どこ $a=|u|$ そして $b=|b|$ そしてこれはに減少します $(a-b)^{2} \geq 0$ それは本当です。

Answer 2

凸集合への射影を使用した証明

$B_3$ の閉じた単位球 $\mathbb R^3$は閉じた凸部分集合です。要求された結果は、$S^2$ のポイントの $\mathbb R^3 \setminus B_3$ 収縮しています。

証拠はここにあります。

必要に応じて、特別な場合にその証明を模倣できます。

Answer 3

切片定理を使用した幾何学的証明

一般性を失うことなく、 $1 \le \vert u \vert \le \vert v \vert$ とを示します $v^\prime = v \frac{\vert u \vert}{\vert v \vert}$。そのことに注意してください$\vert v^\prime \vert = \vert u \vert$。

三角形に切片定理を使用する$0 \ \frac{u}{\vert u \vert }\ \frac{v}{\vert v \vert }$ そして $0 \ u \ v^\prime$ あなたが得る

$$\begin{aligned} \vert u - v \vert^2&= \vert u - v^\prime\vert^2 + \vert v^\prime - v\vert^2 + 2 \langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle\\ &\ge \vert u - v^\prime \vert^2\\&= \vert u \vert^2 \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2\\ &\ge \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2 \end{aligned}$$

$\langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle \ge 0$ なぜなら $\angle u v^\prime v \ge \frac{\pi}{2}$。