です $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ 同型 $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ または $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$？

Question

です $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ 同型 $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ または $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$？

おもう $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1) \not\cong \mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ 前者はフィールドではないので（$x^{2} + 2x + 1$）は削減可能ですが、後者は $(x^{2}+1)$既約です。これは正しいです？

2番目のリングについてはよくわかりません。

Answer 1

はい、あなたは最初のものについて正しいです。それを示す1つの方法も$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1) \ncong \mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ に注意することです $(x+1)^2 = 0$ に $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1)$ 一方、の非ゼロ要素の二乗 $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ はゼロ以外であるため、同型にすることはできません。