です $\sigma(n)$ セットで単射 $A=\left\{n\in\mathbb{N}: \mbox{$n $ is odd and $\ omega（n）= 1 $} \right\}$？
少し前に、除数の和関数かどうか尋ねました $σ(n)$ 単射で、答えはノーで、いくつかの反例が提示されたので、制限することによってかどうか疑問に思い始めました $σ(n)$ あるに $A\subset\mathbb{N}$、単射である可能性があります。私が最初に見つけたのは素数のセットで、そこから、たとえば、より一般的なセットを見ようとしました。$A=\left\{n\in\mathbb{N}: \mbox{$n$ is odd and $\ omega（n）= 1$} \right\}$ どこ $\omega(n)$ 以外の素数除数の数を表します $n$。このように、私が取る場合$a,b\in A$ そのような $a\neq b$、だから私たちはそれを証明したい $\sigma(a)\neq \sigma(b)$。ご了承ください$a,b\in A$ ことを意味します $a=p^{\alpha}$ そして $b=q^\beta$ と $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$ そして $p,q$奇数の素数。さて、$a\neq b$、そして一般性を失うことなく、 $a<b$。ケースがあります：
ケース1： $p=q$、その後必須 $\alpha<\beta$ そして $\sigma(a)< \sigma(b)$。
ケース2： $p\neq q$、その後
ケース2.1： $p<q$ そして $\alpha\le\beta$、その後 $\sigma(a)< \sigma(b)$
ケース2.2： $p<q$ そして $\beta<\alpha$、その後 $\tau(b)=\beta +1<\tau(a)=\alpha+1$。
そして、そこで止まります、誰かが私にテストを続ける方法のアイデアを与えることができますか？または、シグマがAに単射ではないというのが誤りであるかどうかを教えてください。
テストでエラーが発生した場合は、お知らせください。
注意： $\tau(n)$ の正の約数の数を表します $n$。
前もって感謝します。
回答
これが証明だと思います。まず、次の命題を見てみましょう。
命題： $I\left( p^{n}q^{m}\right) <2$ のために $ p, q $ 異なる奇数の素数と $ n, m $ 正の整数。
どこ $I$ 存在量指数を示します
証明：注意してください$p,q$ 異なる奇数の素数なので、 $(p, q)=1$ 順番に意味する $\left(p^{n}, q ^{m}\right) = 1 $ のために $n, m \in\mathbb{N}$アバンダンスインデックスは乗法的であるため、\ begin {eqnarray *} I \ left（p ^ {n} q ^ {m} \ right）= I \ left（p ^ {n} \ right）I \ left （q ^ {m} \ right）= \ left（\ cfrac {\ sigma \ left（p ^ {n} \ right）} {p ^ {n}} \ right）\ left（\ cfrac {\ sigma \ left （q ^ {m} \ right）} {q ^ {m}} \ right）\ end {eqnarray *}
ただし、\ begin {eqnarray *} \ cfrac {\ sigma \ left（p ^ {n} \ right）} {p ^ {n}}＆=＆\ cfrac {1} {p ^ {n}} + \ cfrac {p} {p ^ {n}} + \ dots + \ cfrac {p ^ {n}} {p ^ {n}} \\＆=＆\ cfrac {1} {p ^ {n}} + \ cfrac { 1} {p ^ {n-1}} + \ dots + 1 \\＆=＆\ sum_ {k = 0} ^ {n} \ left（{1} / {p} \ right）^ {k} = \ cfrac {1-{\ left（{1} / {p} \ right）} ^ {n}} {1-{\ left（{1} / {p} \ right）}} <\ cfrac {1} {1-{\ left（{1} / {p} \ right）}} \ end {eqnarray *}
同様に $ q $ 我々が得る
\ begin {eqnarray *} \ cfrac {\ sigma \ left（q ^ {m} \ right）} {q ^ {m}} <\ cfrac {1} {1-{\ left（{1} / {q} \ right）}} \ end {eqnarray *}
一方、として $ p $ そして $ q $ 異なる奇数の素数である場合、一般性を失うことなく、 $3\le p<q$、 これは $p\ge3$ そして $q\ge5$、 ここから
\ begin {eqnarray *} \ cfrac {1} {1-{\ left（{1} / {p} \ right）}} \ le \ cfrac {1} {1-{\ left（{1} / {3 } \ right）}} \ quad and \ quad \ cfrac {1} {1-{\ left（{1} / {q} \ right）}} \ le \ cfrac {1} {1-{\ left（{ 1} / {5} \ right）}} \ end {eqnarray *}
そう、
\ begin {eqnarray *} I \ left（p ^ {n} q ^ {m} \ right）= \ left（\ cfrac {\ sigma \ left（p ^ {n} \ right）} {p ^ {n} } \ right）\ left（\ cfrac {\ sigma \ left（q ^ {m} \ right）} {q ^ {m}} \ right）＆<＆\ left（\ cfrac {1} {1-{\ left（{1} / {p} \ right）}} \ right）\ left（\ cfrac {1} {1-{\ left（{1} / {q} \ right）}} \ right）\\＆ \ le＆\ left（\ cfrac {1} {1-{\ left（{1} / {3} \ right）}} \ right）\ left（\ cfrac {1} {1-{\ left（{1} / {5} \ right）}} \ right）= \ cfrac {15} {8} <2 \ end {eqnarray *}
さて、の証明で行きましょう $σ(n)$ セットで単射です $A=\left\lbrace n\in\mathbb{N}:\mbox{$n$ is odd and $\ omega（n）= 1$}\right\rbrace $
証明：与えられた$a,b∈A$ そのような $a≠b$、だから私たちはそれを証明したい $σ(a)≠σ(b)$。ご了承ください$a,b∈A$ ことを意味します $a=p^α$ そして $b=q^β$ と $α,β∈N$ そして $p,q$奇数の素数。さて、$a\neq b$ 次のケースが発生します。
ケース1： $p=q$、そして義務的に $\alpha\neq\beta$ そして $\sigma(a)\neq\sigma(b)$。
ケース2： $p\neq q$、次に仮定します $\sigma(a)=\sigma(b)$、連続して $I\left( ab\right)=I\left( a\right)I\left( b\right)<2$、\ begin {eqnarray *} \ left（\ cfrac {\ sigma \ left（p ^ {\ alpha} \ right）} {p ^ {\ alpha}} \ right）\ left（\ cfrac {\ sigma \ left（q ^ {\ beta} \ right）} {q ^ {\ beta}} \ right）<2 \ end {eqnarray *}または同等に\ begin {eqnarray *} \ sigma \ left（p ^ {\ alpha} \ right）\ sigma \ left（q ^ {\ beta} \ right）<2p ^ {\ alpha} q ^ {\ beta} \ end {eqnarray *}しかし、どのように$\sigma(a)=\sigma(b)$、次に\ begin {eqnarray *} \ left（\ sigma \ left（p ^ {\ alpha} \ right）\ right）^ 2 <2p ^ {\ alpha} q ^ {\ beta} \ end {eqnarray *}および後者はすべての人に有効です$ p, q $ そのような異なる奇数の素数 $\sigma(a)=\sigma(b)$ そして $ \alpha, \beta $正の整数。\ end {eqnarray *}
前回のテストで間違えたので編集しました。気づいてくれた@shibaiに感謝します。現在のテストは不完全ですが、おそらく完全なテストの手がかりです。