です $x^2y^2-z^3$ の既約元 $\Bbb Q[x,y,z]$？

Question

です $x^2y^2 - z^3$ の既約元 $\Bbb Q[x,y,z]$？

証明したい $\Bbb Q[x,y,z]/(x^2y^2-z^3)$ は整域なので、表示する必要があります $(x^2y^2 - z^3)$ の素イデアルです $\Bbb Q[x,y,z]$。見せてみました$x^2y^2-x^3$ は既約元であり、アイゼンシュタインの素イデアルの基準を適用しようとしましたが、各変数は $x,y,z$ 大なり記号よりも大きい $2$。したがって、別の方法を使用する必要がありますが、何も起こりません。

Answer 1

のことを考える $z^3-x^2y^2$ モニック立方体として $z$。因数があれば、次の形式の線形因数があります。$z-\phi$ どこ $\phi\in\Bbb Q[x,y]$ そして $\phi^3=x^2y^2$。そのようなはありません$\phi$。