です $x$ 有理関数の分野における代数的要素 $K(x)^p$？
質問： $x \in K(x)$ フィールド上の代数的要素 $K(x)^p$？
編集：しましょう $K$ char（でフィールドになります$K)=p>0$ そしてしましょう $K(x)$ 上の有理関数の分野である $K$。
私の試み：私は基本的に以下を参照してこれに答えようとしました：
フィールド $K (x)$ 上の有理関数の $K$、要素 $x$ ありません $p$ルート。
それとは反対に、 $x$ 代数的です $K(x)^p$、 など $x$ いくつかのルートです $p$-次のような次数多項式。 $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$
$f(x)^p=g(x)^p * x$
ここで私達はの程度以来矛盾を見る $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ そして $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$。
私はこれに完全に夢中になっています。私はBeachyによる抽象代数の第4版を使用しており、有理数の分野についてはほとんど言及されていません。有理数の分野についてもっと知ることができるリソースに関するヒントや提案をいただければ幸いです。ありがとうございます。
回答
$x$ 実際には代数的です $K(x)^p$ （質問へのコメントに注意してください、私たちはそれだけが必要です $x^p\in K(x)^p$。どのリングで次の多項式を見つけようとしているのか混乱するかもしれません$x$ルートとして。この表記上の問題を回避するために、電話をかけましょう$F:=K(x)^p$。
今 $x$ 代数的です $F$ 多項式がある場合 $g\in F[Y]$ st $g(x)=0$。多項式を見てみましょう$g=Y^p-x^p$。私達はことを知っています$x^p\in F$、 そう $g\in F[Y]$。明らかにまた$g(x)=x^p-x^p=0$、 そう $x$ 代数的です $F$。
私はあなたが意味することを全体を通して仮定しています $K$ 特徴を持っている $p>0$。おそらくあなたはその可能性に投げ込まれます$K$ 完璧ではありません、その場合 $\bigl(K(x)\bigr)^p$ とは異なります $K(x^p)$。ただし、心配しないでください。私たちの目的では、それは問題ではありません。
あなたのフィールドフィールドを考えてみましょう $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$、要素があります $x^p$。この要素を呼びます$t$。フィールド同型があることに注意してください$\varphi:K(x)\to\mathscr L$、 沿って $\varphi(f)=f^p$。そして要素のイメージ$x$ の $K(x)$ です $t\in\mathscr L$; 同じように$x$ ありません $p$-のルート $K(x)$、 そう $t$ ありません $p$-のルート $\mathscr L$。したがって、$\mathscr L$-多項式 $X^p-t$ 既約です（$\dagger$）。にルートがあります$K(x)$、しかし、すなわち $x$。そして、あなたはそこにいます。
（（$\dagger$）私はフィールドでその事実を使用しました $k$ 特徴の $p$、 $X^p-b$ どちらかにルーツがあります $k$ またはです $k$-既約。