ディラック場:粒子と反粒子の生成演算子は真空に対して異なる作用をしますか?
与えられたディラック場 $$\Psi(x):=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\delta\left(p_0-\omega(\mathbf{k})\right)\sum_s\left(a_s(k)u_s(k)e^{-ikx}+b^\dagger_s(k)v_s(k)e^{ikx}\right)$$ 生成演算子を使って $a^\dagger_s(k),b^\dagger_s(k)$ それぞれ粒子と反粒子の場合、これらの演算子は真空に対してどのように作用しますか?
特に、それは本当ですか $|k\rangle=a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$?
回答
ああ、私はあなたの質問を今理解していると思います、そしてこれは単純な表記上の問題だと思います。粒子と反粒子の単一粒子の状態は、異なる方法で表す必要があります。つまり、表記にできるだけ近づけようとすると、次のようになります。
$$|k,s\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle \ \ \ \ , \ \ \ \ |\tilde{k},\tilde{s}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle \ .$$そして、すべての通常の交換関係は同じです。おそらく、より標準的な表記法は$|1_{k}\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle$ そして $|\bar{1}_{k}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle $、しかし、私は何が最も一般的であるか完全にはわかりません。
それは真実ではありません$a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$。また、表記$|k\rangle $あいまいです。状態があります$|k,s\rangle =a^\dagger_s(k)|0\rangle$運動量のある1つの粒子を含む$k$ とスピン状態 $s$ と状態 $|\tilde k,\tilde s\rangle =b^\dagger_s(k)|0\rangle$勢いのある1つの反粒子を含む$k$ とスピン状態 $s$。たとえば、[1]のセクション5.4を参照してください。
[1] GBFolland、場の量子論。数学者のための観光ガイド、Math.Surveys&Monographs 149、AMS、2008年。
オペレーター $a$は粒子消滅演算子ですが、$b^{\dagger}$反粒子生成演算子です。真空に作用して、$a_{s}(k)|0\rangle=0$、 だが $b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle\neq0$。実際には、$b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle$ は1粒子の反フェルミオン状態です(これは1粒子のフェルミオン状態と同じではありません)。
間の共通性 $a$ そして $b^{\dagger}$それぞれが粒子を作るということではありません。むしろ、それらはそれぞれフェルミ粒子の数を減らすことができます$1$。(フェルミ粒子数は、存在するフェルミ粒子の数から反フェルミ粒子の数を引いたものです。つまり、真空中ではゼロです。)1粒子のフェルミ粒子状態に作用する$a_{s}(k)|k,s\rangle=|0\rangle$、勢いでフェルミ粒子を全滅させる $k$ とスピン $s$。共役場$\Psi^{\dagger}$ (または $\bar{\Psi}=\Psi^{\dagger}\gamma_{0}$)を含む $a^{\dagger}$、フェルミ粒子を生成し、 $b$、アンチフェルミオンを全滅させます。したがって、$\Psi^{\dagger}$ フェルミ粒子の数を増やす $1$。