ドイッチュ・ジョッサ回路の最終状態での絡み合いを証明する

Question

私は次のことを証明するように求められます：

ドイッチュ・ジョッサ回路を考えてみましょう。回路の出力は次の形式です$|\psi\rangle \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$。状態を証明する$|\psi\rangle$ メジャーが絡み合う直前最後の一連のを適用する直前に絡み合っている場合に限り $H$ ゲート（アダマールゲート）

これが私の試みです。

しましょう $|\psi_m\rangle$ 対策直前の状態になり、 $|\psi_h\rangle$ 最後のアダマールゲートを適用する直前の状態になります（つまり、 $|\psi_m\rangle = H^{\otimes n}|\psi_h\rangle$）

$|\psi_m\rangle$ もつれ $\Rightarrow |\psi_h\rangle$ もつれ：

仮定する $|\psi_h\rangle$絡まっていない。次に$|\psi_h\rangle$ 次のように書くことができます：$$|\psi_h\rangle =|x_1\rangle \otimes...\otimes|x_n\rangle$$

今適用すると $H$ ゲート、私たちは得る：$$H|x_1\rangle \otimes...\otimes H|x_n\rangle$$ $$=\frac{1}{2^{n/2}}\big[(|0\rangle+(-1)^{x_1}|1\rangle) \otimes ... \otimes (|0\rangle+(-1)^{x_n}|1\rangle) \big] $$

私が誤解したり、誤算したりしない限り、これがどのように絡み合わないのかわかりません。

手伝ってくれませんか。

また、if-partを証明する方法がわかりません。

Answer 1

次のような2つのnキュービット状態があるとします。 $H^{\otimes n}|\psi\rangle = |\varphi\rangle$。次に、次のようになります（Hは可逆であり、1行目から2行目に移動できることを意味します）。

\begin{align*} |\psi\rangle \text{ is separable iff }& \exists (|\psi_i\rangle)_{i \in [\![1,n]\!]} \text{ such that } |\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes ... \otimes |\psi_n\rangle \\ \text{iff } & \exists (|\psi_i\rangle)_{i \in [\![1,n]\!]} \text{ such that } \underbrace{H^{\otimes n} |\psi\rangle}_{= |\varphi\rangle} = \underbrace{(H|\psi_1\rangle)}_{= |\varphi_1\rangle} \otimes ... \otimes \underbrace{(H|\psi_n\rangle)}_{= |\varphi_n\rangle} \\ \text{iff } & \exists (|\varphi_i\rangle)_{i \in [\![1,n]\!]} \text{ such that } |\varphi\rangle = |\varphi_1\rangle \otimes ... \otimes |\varphi_n\rangle \\ \text{iff }& |\varphi\rangle \text{ is separable} \end{align*}

より一般的には、分離可能状態の場合、リバーシブル1キュービットゲートを適用すると、分離可能のままであると言えます。

ちなみに、あなたが書いた最後の状態は確かに分離可能です、あなたがそれを因数分解することができた（すなわちテンソル積でそれを書く）ことに注意してください、そしてあなたはまた忘れました $1/\sqrt{2}$ それぞれの係数 $H$ 適用します。つまり、州の全要素は $1/2^n$。