どのように評価しますか $\int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$
解決しようとしていたされている場合、この積分は、ポップアップこれを。の一般的な解決策を得ることが可能かどうかはわかりません
$$I = \int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$$
どこ $n\in\mathbb{N}$。WolframAlphaは次の積分を解くことができます$n=1,2,3$、しかしその後、計算時間がなくなります。代用できます$u = \arcsin(x)$ そして $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^n(x)\sqrt{1-\sin^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin^n(x)\cos(x) \, dx$$
WolframAlphaはいくつかの三角関数公式を使用してケースを解決します $n=1,2,3$、しかしすべてを解決する方法はありますか $n\in\mathbb{N}$?
回答
評価の仕方が役に立たないかもしれませんが、Mathematicaが解決策を提供します$$ \frac{2 \, _3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{3}{2},\frac{n}{2}+2;1\right)}{(n+ 1) (n+2)}+\frac{\pi ^2}{4 (n+1)}-\frac{\pi ^{3/2} \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{(n+1)^2 \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)} $$ これも少なくとも一部の部分で機能するようです $n$。 $\;_3F_2$一般化超幾何関数の表記を使用します。右端の用語は、のメリン変換に関連しています。$\arcsin^2(x)$。
数学の解は、おそらく次の表現を使用して到達します。 $\arcsin(x)$Meijer-G関数として、Meijer-G関数のペアの積分の一般的な形式を解きます。最後に、結果を超幾何関数に変換し直します。これは一般に積分をシンボリックに解くための一般的なアルゴリズムですが、積分もヘヴィサイドの階段関数で畳み込まれているため、確実に言うのは難しいです。
積分を次のように書くことができる可能性が高くなります $\mathcal{M}[\Theta(1-x) \arcsin^2(x)]$、すなわちの積のメリン変換 $\Theta(1-x)$ そして $\arcsin^2(x)$、Meijer-G表現があります $$ \Theta(1-x) = \text{MeijerG}(\{\{\},\{1\}\},\{\{0\},\{\}\},x) $$ そして $$ \arcsin^2(x) = -\frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{MeijerG}\left(\{\{1,1,1\},\{\}\},\left\{\{1\},\left\{0,\frac{1}{2}\right\}\right\},i x,\frac{1}{2}\right) $$ 方程式を使用します $$ \int_0^{\infty} G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, \eta x \right) G_{\sigma, \tau}^{\,\mu, \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{c_{\sigma}} \\ \mathbf{d_\tau} \end{matrix} \; \right| \, \omega x \right) dx = \frac{1}{\eta} \; G_{q + \sigma ,\, p + \tau}^{\,n + \mu ,\, m + \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} - b_1, \dots, - b_m, \mathbf{c_{\sigma}}, - b_{m+1}, \dots, - b_q \\ - a_1, \dots, -a_n, \mathbf{d_\tau} , - a_{n+1}, \dots, - a_p \end{matrix} \; \right| \, \frac{\omega}{\eta} \right) $$ または同様のものであるため、コンピューターは、特に超幾何恒等式の観点から結果を分解するのに非常に役立つツールです。
特別な機能を回避する代替ソリューション。
いくつかの未知のパラメータに応じて、解について不定積分を行うと、不定積分が得られる場合があります。その後、微分することにより、パラメータの正しい値を得ることができます。
でも $n=2m$ ソリューションの形式は $$ \int x^{2m}\arcsin^2(x)dx=-2xP_m(x^2)+2\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\arcsin^2(x)+C $$ どこ $P_m,Q_m$ 次数の多項式です $m.$ 次に、差別化することにより、私たちはアイデンティティを持っています $$ -2P_m(x^2)-4x^2P'_m(x^2)-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}Q_m(x^2)\arcsin(x)+4x\sqrt{1-x^2}Q'_m(x^2)\arcsin(x)+\\+2Q_m(x^2)+x^{2m}\arcsin^2(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}2\arcsin(x). $$ を除いて、すべての用語が消える必要があります $x^{2m}\arcsin^2(x)$、したがって、を含む用語を分離する $\arcsin(x)$ 他の人から、そして位置と $t=x^2,$ 2つの1次線形微分方程式があります。 $$ 2(1-t)Q'_m-Q_m+\frac{t^m}{2m+1}=0\\ 2tP'_m+P_m-Q_m=0 $$平方根を含む一般的な解は必要ありませんが、固有の特定の多項式解のみが必要です。これらの解が見つかると、定積分の値が次のようになることが簡単にわかります。$$ \int_0^1 x^{2m}\arcsin^2(x)dx=\frac{1}{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-2P_m(1). $$
同様の方法で、奇数の場合 $n=2m+1$、私たちは $$ \int x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=-x^2P_m(x^2)+2x\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\left(\frac{x^{2m+2}}{2m+2}-k\right)\arcsin^2(x)+C $$ 得られた微分方程式に直接行くと、それらは $$ t(1-t)Q'_m+(1-2t)Q_m+\frac{t^{m+1}}{2m+2}-k=0,\\ tP'_m+P_m-Q_m=0 $$ (これらの最初から私達はまた得ます $k=Q_m(0)$)。
繰り返しますが、多項式の解を探します。見つかったら、次のようになります。$$ \int_0^1 x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=\left(\frac{1}{2m+2}-Q_m(0)\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-P_m(1). $$