同相写像を保存および逆転する方向の構成
しましょう $S^1$ 単位円になり、 $f:S^1 \to S^1$ 同相写像です。
私達は言う $f$ の持ち上げがある場合、同相写像を保持する方向です $f$ 被覆空間へ $\mathbb{R}$ 厳密に増加しており、持ち上げた場合は方向反転と呼ばれます $f$ 被覆空間へ $\mathbb{R}$ 厳密に減少しています。
今、私はそれらについていくつか質問があります：
1-同相写像であることを証明したい $f:S^1 \to S^1$ 向きを維持するか、向きを逆にするかのいずれかです。
2-同相写像を保持する方向と方向反転の構成は、方向反転です。
3-もし $a,b \in S^1$ その後 $f$ 向きを維持している場合 $f(a,b)=(f(a),f(b))$。
また、同相写像の程度がどちらかである理由も $1$ または $-1$そしてそれは質問2に関連していますか？私たちが知っているので$deg(fog)=deg(f)deg(g)$
回答
最初に見せましょう
各連続噴射 $\phi : J \to \mathbb R$ 間隔で定義 $J \subset \mathbb R$厳密に増加または厳密に減少しています。（間隔は開いている、半分開いている、閉じている/制限されている、制限されていない可能性があることに注意してください。）
証明。しましょう$H = \{(x,y) \in J \times J \mid x < y \}$。これがの凸部分集合であることを確認するのは簡単です$\mathbb R^2$したがって、パス接続され、フォルティオリ接続されます。
しましょう $A = \{(x,y) \in H \mid \phi(x) < \phi(y) \}$ そして $B= \{(x,y) \in H \mid \phi(x) > \phi(y) \}$。明らかに$A \cap B = \emptyset$ そして $A \cup B = H$ （注意 $\phi(x) = \phi(y)$ 意味する $x = y$ なぜなら $\phi$単射です）。以来$\phi$ 両方とも継続的です $A$ そして $B$ で開いています $J \times J$、したがって、 $H$。以来$H$ 接続されている、の1つ $A$ または $B$ でなければなりません $= H$ およびその他 $= \emptyset$。この意味は$\phi$ 厳密に増加または厳密に減少しています。
次に見せましょう
場合 $H : \mathbb R \to \mathbb R$ 同相写像のリフトです $h : S^1 \to S^1$、その後 $H$ 同相写像です。
証明。しましょう$p : \mathbb R \to S^1, p(t) = e^{2\pi it}$、標準の被覆マップになります。のリフトとして$f : S^1 \to S^1$ 私たちは任意の地図を示します $F : \mathbb R \to \mathbb R$ そのような $p \circ F = f \circ p$。
あなたは確かにそれを知っています $F,F'$ のリフトです $f$、その後 $$(*) \phantom x F'(t) = F(t) + k \text{ for all } t \text{ with a } \textbf{fixed } k \in \mathbb Z. $$ 実際、私たちは $e^{2\pi i(F(t) -F'(t))} = e^{2\pi iF(t)}/e^{2\pi i F'(t)} = (p \circ F)(t)/ (p \circ F')(t) = (f \circ p)(t)/ (f \circ p)(t) = 1$、したがって $(F - F')(t) = F(t) -F'(t) \in \mathbb Z$ との継続性によって $F - F'$ わかります $(F - F')(t) = k$いくつかの固定 $k \in \mathbb Z$。この意味は$F' = \tau_k \circ F$ 翻訳同相写像で $\tau_k : \mathbb R \to \mathbb R, \tau_k(t) = t + k$。
場合 $F, G$ のリフトです $f, g$、その後 $p \circ G \circ F = g \circ p \circ F = g \circ f \circ p$、したがって $G\circ F$ のリフトです $g \circ f$。
しましょう $h$ 逆同相写像で同相写像である $h^{-1}$ そしてしましょう $H, \bar H$ のリフトになります $h, h^{-1}$。次に$\bar H \circ H$ のリフトです $h^{-1} \circ h = id$。以来$id : \mathbb R \to \mathbb R$ のリフトです $id : S^1 \to S^1$、 我々が得る $(\tau_k \circ \bar H ) \circ H = \tau_k \circ (\bar H \circ H) = id$ いくつかのための $k \in \mathbb Z$。同様に、$H \circ \bar H = \tau_r \circ id = \tau_r$ いくつかのための $r \in \mathbb Z$。後者は意味します$H \circ (\bar H \circ \tau_r^{-1}) = id$。したがって、$H$ 左逆 $H' = \tau_k \circ H$ と右逆 $H'' = \bar H \circ \tau_r^{-1}$。でも今$H'' = id \circ H'' = H' \circ H \circ H'' = H' \circ id = H'$、したがって $H$ 逆の同相写像です $H^{-1} = H' = H''$。
あなたの質問1は上記の2つの定理によって答えられます。
度式による $\deg(f \circ g) = \deg(g)\deg(f)$ 同相写像が $h$ 学位を持っている $\pm 1$ （以来 $\deg(id) = 1)$）。実際には、$\pm 1$ の唯一の要素です $\mathbb Z$逆数があります。しましょう$H$ のリフトになる $h$。それは同相写像であり、したがって$H$厳密に増加または厳密に減少しています。前者の場合は正の次数、2番目の場合は負の次数である必要があります。したがって、
同相写像は、次数1の場合、向きを維持します。次数が-1の場合、方向が反転します。
したがって、度の公式はあなたの質問2にも答えます。
3に関して：「オープンインターバル」をどのように定義するかは実際には正確ではありません $(a,b) \subset S^1$。どうやら$a, b \in S^1$ 2つの異なるポイントである場合、から反時計回りに移動します $a$ に $b$ とすべてのポイントは厳密に $a$ そして $b$ 構成する $(a,b)$。単位円上の開集合に対する私の答えは$S^1$より正確に説明します。オープンインターバル$(a,b) \subset S^1$ 正確には画像です $p((s,t))$ オープンインターバルの $(s,t) \subset \mathbb R$ そのような $0 < t - s < 1$、私たちが持っているところ $a = p(s)$ そして $b = p(t)$。同相写像を保存する向きを示しましょう$h$ マップ $(a,b)$ に $(h(a),h(b))$。
明らかに $h(a) \ne h(b)$。しましょう$H$ のリフトになる $h$。次に$H(s) < H(t)$ そして $H$ マップ $(s,t)$ ホメオモルフィックに $(H(s),H(t))$。我々は持っています$p(H(s)) = h(a), p(H(t)) = h(b)$ そして $0 < H(t) - H(s) < 1$。最後の不等式について：もし$H(t) - H(s) = 1$、その後 $h(b) = h(a)$それは不可能です。場合$H(t) - H(s) > 1$、その後 $p \mid_{(H(s),H(t))}$ 単射ではないので、 $p \circ H \mid_{(s,t)}$ 単射ではないので矛盾です $p \circ H \mid_{(s,t)} = h \circ p \mid_{(s,t)} = h \mid_{(a,b)}$。