導出された限界/前層コホモロジーのカップ積を計算する方法

Jan 11 2021

私は有限のカテゴリーを持っています $\mathcal{C}$、ファンクターと一緒に $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$。場合$F_j$ です $j$-の3年生の作品 $F$、それから私は書く $H^i(\mathcal{C},F_j)$ のために $i$-ダイアグラムの-番目に導出された逆極限 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$アーベル群の。同等に、それは$i$-層の層係数コホモロジー $F_j$、私が思うところ $\mathcal{C}$ 些細なグロタンディークトポロジーのサイトとして。

私は様々なを計算しました $H^i(\mathcal{C},F_j)$。それらを組み立てると、カップ積構造が必要です$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$。この製品構造を計算したいと思います。

私が知っている唯一の方法は、明示的な解像度、テンソル積、および複合体全体を含む層係数コホモロジーによるものです([1]を参照)。残念ながら、私は明確な解決策を持っていません$F$ または $F \otimes F$:特に私の理由で、手で行うには複雑すぎるようです $F(c)$通常、無限に生成されます。(私の計算では$H^i(\mathcal{C},F_j)$ スペクトル系列を使用してこれを回避しましたが、これらは製品構造をあいまいにします。)

私は次の質問に導かれます:

  • 前層コホモロジー/派生限界のカップ積を計算するためのより効率的な方法を知っている人はいますか?
  • そうでない場合、上記のタスクの概要の一部を引き継ぐことができる可能性のあるコンピューターソフトウェアはありますか?

[1]:RDスワン。層係数コホモロジー、純粋な単射的対象、および射影解像度の代替のカップ積。

回答

1 DmitriPavlov Jan 12 2021 at 02:06

束(および前層)コホモロジーのカップ積は、多くの場合、ターゲットではなくソース(たとえば、射影モデル構造)を解決することで簡単に計算できます。この方法でソースを解決する例については、米田ペアリング、ハイパーコホモロジー、およびカップ積を参照してください。

検討中のケースでは、C上の鎖複体の前層のカテゴリーに射影モデル構造を装備することができます。後者には明示的な共線維置換ファンクターがあり、これを使用して明示的な射影解像度を書き留めることができます。随伴関手は、正確には、C上の鎖複体の前層とOb(C)インデックス付き鎖複体の間の補助に適用される古典的な棒構造です。