円弧の長さを計算する

Question

私は現在、円弧の長さを計算する段階的な例を実行しています $\gamma$ 半径の $r$ なす角 $\theta_1$ そして $\theta_2$。

円弧は次のようにパラメータ化されます $\gamma (t) = c + re^{it}$ ために $\theta_1 \leq t \leq \theta_2$。

長さを計算するには、導関数を計算する必要があります。 $\gamma'$、これは $\gamma'(t)=rie^{it}$。

次に、長さの定義により、次のようになります。 $$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt$$

私はこの時点まですべてを理解していますが、その後、解決策は積分をさらに単純化することになり、なぜこれができるのか理解できません。

$$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt = r\int_{\theta_2}^{\theta_1}dt = r(\theta_2 - \theta_1)$$

確かに統合することで、代わりに次のようになりますか？

$$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt = r\int_{\theta_2}^{\theta_1}|ie^{it}| dt = r(e^{i\theta_2} - e^{i\theta_1})$$

私がどこで間違っているかを示す助けがあれば大歓迎です！

Answer 1

$$ r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|ie^{it}|dt \\ = r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|i(\cos(t) + i\cdot \sin(t))|dt \\ = r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|i\cos(t) - \sin(t)|dt $$

今 $i\cos(t) - \sin(t)$実数軸上の単位円をパラメータ化します。複素数の絶対値を忘れないでください$|a + bi|$ 基本的には、ベクトルであるかのような大きさです。 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$。単位円なので、大きさは常に1になります。

$$r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}1 dt = r(\theta_{2} - \theta_{1})$$