複素数の対数

Question

一般的に対数の場合 $2^4=16$ それからそれは意味します $\log_2(16)=4$ （ここ2がベースです）

したがって、対数の値は基本的に、数の基数を何回乗算するかを示します。

lnを取るとき、それは単にベースがeであることを意味します

今私の質問を開始します

複素数の対数は何ですか？

対数は基数を何回掛けるかを教えてくれるので、私は思いました。対数を取ると実数が得られます。実数を掛けても数に関係なく、答えは実数です。

しかし、私が持っている本はその複雑さを述べています。それはそれのための派生さえ持っています。

誰かが実際に関連する複素数の対数を説明できるか、少なくともいくつかのリソースを共有できますか？

ありがとうございました

Answer 1

複素数に注意してください $z$ 次のように書くことができます $$z=|z|e^{i\theta}$$

どこ $|x|$ のモジュールを意味します $x$

したがって、の対数 $z$ だろう

$$z=|z|e^{i\theta}\\ \log z=\log (|z|e^{i\theta})\\ \log z= \log{|z|+\log{e^{i\theta}}}\\ \log{z}=\log{|z|}+i\theta$$

の計算のために $|z|$ピタゴリアンの定理を簡単に使用できます。の計算のために$\theta$ 使用できます $\arctan \theta$隣接する側と反対側の両方を知っているからです。そのことに注意してください$\theta$ 解決策は1つだけではありません。 $\tan{(\theta+2\pi n)}= \tan{\theta}$、だから私たちは実際にソリューションのブランチを取得します。この事実にもかかわらず、私たちは通常、セットに属するものであるメインのものを使用します$(-\pi,\pi]$