フォワードスターティングオプションの概念
検討する $t_0<t<T$、と $t_0=0$ （今日の日付）およびバニラフォワード開始コールオプションの標準的なペイオフ、
$F_{t,T} = (S_T - S_t\cdot K)^+$、ストライキあり $K$。
このオプションの価格が今日で見積もられている場合 $t_0$、次に、ある種のブラックショールズのインプライドボラティリティを推測できます。 $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ 対応するBS価格が市場価格と一致するもの（ $t_0$）。
ここで、時間におけるBSインプライドボラティリティを示します $t$ 上記のペイオフを伴うコールオプションの $\hat{\sigma}(t,T,K,S_t)$。明らかに、の観点から$t_0$ 日付の市場相場としてこれは不明です $t$ まだ存在していません。
私の質問はどうですか $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ 未知のものに関連する $\hat{\sigma}_{imp}(t,T,K,S_t(\omega)$？最初のものは2番目のものの単なるプロキシですか？
答えは明白かもしれないことは承知していますが、私は自分自身を納得させ、参考文献の概念をよりよく理解しようとしています。上記のすべてを明確にする参考文献/読みやすい論文をいただければ幸いです。
回答
フォワードスタートオプションは非常に興味深い証券であり、インターネット上でそれらについて多くを見つけることができます。ブラックショールズにはそれらの明示的な価格設定式があることがわかりました。私が見つけることができる最も優れた導出は、この論文で与えられています-価格設定式は次のように与えられます：
フォワードインプライドボラティリティに関しては、それを定義するいくつかの方法があることがわかります。プレーンBSでは、ボラティリティは常に決定論的であるため、フォワードインプライドボラティリティは現在のインプライドボラティリティと同じになります。しかし、物事は確定的体積モデルと確率的容量モデルが与えた場合には、（BSの一般化として考えることができる）ローカル巻モデルに、より面白くVERY -異なる前方体積の表面を、私はグラフに（これについて少し書いて、コード）別の答えで。
興味深い場合は、Heston確率的volモデルでも、これらのオプションの半解析式を見つけることができます。たとえば、ここに示すものは...
自分で実験したい場合は、Local VolケースとHestonケースの両方に、QuantLibを介して利用できる分析（およびモンテカルロ）価格設定エンジンがあります。