外積代数と線形独立ベクトル
仮定 $v_1,\cdots,v_r$ いくつかのベクトル空間で線形独立ベクトルです $V$。私はそれをどんな人にも見せたい$w \in \bigwedge^p(V)$ それ $$ w = \sum_{i=1}^{r} v_i \wedge \psi_i $$ いくつかのための $\psi_i \in \bigwedge^{p-1}(V)$ 場合に限り $$ v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0. $$
進む方向は書くことで簡単です $w$合計として、ウェッジ積を線形に拡張します。それは私にいくつかの問題を与えている2番目の含意です。
私たちがそれを仮定すると $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0$、それから私は私が書くことができると結論したい $w$ から適切に選択された交互の多重線形形式を調べることにより、適切な形式で $V^{p+r}$ の普遍性を使用できるように、いくつかのベクトル空間に $\bigwedge^{p+r}(V)$、で誘導されたマップを評価します。 $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w$ 取得します $0$。
私が抱えている問題は $w$ 必ずしも基本的なウェッジ製品ではないので、私はそれをの要素としての標準的な考え方を持っていません $V^p$。この逆方向のアイデアをいただければ幸いです。
回答
しましょう $\{e_1,\ldots, e_k\}$ の基礎となる $V$ そのような $v_i=e_i$ ために $1\le i\le r$。 $w\in \bigwedge^p(V) \implies$
$$w = \sum_{\alpha\in P}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\ldots \wedge e_{\alpha_s}$$ どこ $P = \{(i_1,\ldots, i_s) \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le k, s\leq p\}$ そして私は使用します $|\alpha|$タプル内の要素の数を示します。明らかに$$v_1\wedge \cdots \wedge v_r = e_{1}\wedge\cdots \wedge e_{r}$$したがって、\ begin {align *}＆v_1 \ wedge \ cdots \ wedge v_r \ wedge w = 0 \\ \ implies＆e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {r} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P} f_ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} = 0 \\ \ implies＆\ forall \ alpha \ in P、f_ \ alpha \ neq 0 \ implies \ exists l_ \ alpha \ leq | \ alpha |、\ alpha_ {l_ \ alpha} \ leq r \ text {（Let$l_\alpha$そのような最小値を示します）} \\ \ implies＆w = \ sum _ {\ alpha \ in P、f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ウェッジe_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space（\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n）\\ \ implies＆w = \ sum _ {\ alpha \ in P、f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha}（-1）^ m e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e_ { \ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space（\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n）\\ \ implies＆w = \ sum_ {i = 1} ^ rv_ {i} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P、f_ \ alpha \ neq0、l _ \ alpha = i} f _ {\ alpha}（-1）^ m \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space（\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n）\ end {align *}どこかで間違いを犯した可能性がありますが、アイデアは明確である必要があります。わかりやすくするために使用することを提案する表記がある場合は、コメントしてください。