ガウス素数の等差数列

Question

与えられた $u\in\mathbb{C}$ そして $v\in\mathbb{C}$ 次の進行について考えてみましょう。 $$z_n=u+nv\;\;\;\;\;\;\;\;\;n\ge 0$$

進行状況を見つけることは可能ですか？ $z_n$ nの連続する値の任意の長いシーケンスに対してガウス素数を生成しますか？

例えば、 $z_n=-13-2i+n(3+i)$ すべての値に対してガウス素数を生成します $0\le n\le 8$ （規範を調べる $|z_n|^2=10n^2-82n+173$）：

そうでない場合は、最大長の進行がわかっていますか？

どうもありがとう。

Answer 1

グリーンタオの定理は、4を法とする3に合同な（有理）素数の間に任意に長い等差数列があることも示しています。たとえば、このMOの質問を参照してください。グリーンタオの定理は、与えられた等差数列内の素数に当てはまりますか？。

3 mod 4の有理素数はガウス素数であるため、これはガウス素数に任意の長さの等差数列が含まれていることを示しています。

（これはおそらく少し不十分なクラスの例です。素数の任意に長い等差数列があるかどうかはわかりません $\mathbf{Z}[i]$ 入っていない $\mathbf{Z}$ または $i \mathbf{Z}$。）

Answer 2

Tao arxiv.org/abs/math/0501314の定理は、次のように述べています。$v_i \in \mathbb{Z}[i]$ 無限にあります $a\in \mathbb{Z}[i],r\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ そのようなすべて $a+rv_i$ガウス素数です。たとえば、2本の平行線の形状を選択する$v_{1,j}=j,v_{2,j}=i+j,j\in \{1, \ldots,k\}$は、すべてが実数直線上にあるわけではないガウス素数の長い進行もあることを示しています（これは、Davidが開いたままの質問にも答えます）。たとえば、45度の角度で線を引くこともできます。