合同関係が通常、ある種のサブオブジェクトに対応するのはなぜですか？

Question

普遍的な代数の観点から、代数的構造の商構造は合同関係を使用して構築されます。場合$A$ 代数的構造（集合に対する一連の操作を含む集合）および $R$ セットの合同関係、次に商 $A/R$ は明確に定義されており、同じタイプの代数的構造になります。

さて、結局のところ、特に代数的カテゴリーでは、これらの合同関係は $A$ のあるタイプのサブオブジェクトに正確に対応します $A$。たとえば、リング上の合同関係は、そのリングの理想に正確に対応しています。グループの合同関係は、そのグループの通常のサブグループに正確に対応します。モジュールの合同関係は、そのモジュールのサブモジュールに正確に対応します。

合同関係が通常、ある種のサブオブジェクトに対応するのはなぜですか？これは、すべての代数的構造に一般化できる一般的な現象ですか（普遍代数によってこの一般化で研究されているように）？

Answer 1

その合同を思い出してください $A$ その正方形の特定の部分代数として見ることができます $A^2,\,$たとえば、ここを参照してください。

群環や環のような代数では、正規化できます $\,a = b\,$ に $\,a\!-\!b = \color{#c00}0\,$合同は、単一の合同クラス（たとえば、リング内の理想）によって決定されます。これは、からの部分代数との合同間の前述の関係を崩壊させる効果があります $A^2$ 至るまで $A.\,$ このような代数は理想的な決定変種と呼ばれ、多くの研究がなされてきました。

あなたの質問に対する一つの答えは、理想的に決定された品種は、それらの合同の2つの特性、すなわち $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ そして $\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}$。以下は、関連トピックに関する1つの論文の抜粋であり、このトピックおよび関連トピックに関する文献への優れたエントリポイントを提供します。

減法混色についてiv：主イデアルの定義可能性。

PaoloAglianoとAldoUrsini

1. 序文

次の質問がありました。

• （a）普遍代数の理想は何に適していますか？
• （b）減法混色の品種は何に適していますか？
• （c）主イデアルの定義可能性を研究する理由はありますか？

減法混色のプロジェクトの真っ最中なので、これはそれらに取り組むのに適切な場所のようです。

（a）へ。一般的な代数における理想の概念[13]、[17]、[22]は、合同クラスのいくつかの本質的な特性を取り戻すことを目的としています。$0$、特定の定数に対して $0$。これには、通常のサブグループ、リングまたは演算子グループのイデアル、ブール代数またはハイティング代数のフィルター、バナッハ代数のイデアル、lグループ、およびより多くの古典的な設定が含まれます。ある意味で、「合同クラスの」という概念に満足すれば、それは贅沢です。$0$"。したがって、この質問の一部は次のようになります。なぜリングにイデアルがあるのか​​？グループに通常のサブグループがあるのか​​？ブール代数でフィルターするのか？など。これらの質問に答えようとは思わない。別の意味で、質問（ a）同様の質問を提案します：普遍代数の部分代数は何に適していますか？そしてもっとたくさん。おそらく、「普遍代数」と呼ばれる企業全体がそのような質問に答えるためにありますか？

そうは言っても、理想の理論の最も適切な設定は、理想的に決定されたクラスの設定であることは明らかです（つまり、合同Eをその $0$-クラス $\,0/E$合同格子と理想格子の間に格子同型を確立します）。この方向の最初の論文[22]は、そのタイトルにそれを盛り込んだ。

-さまざまなVについて-理想的に決定されるのは、2つの独立した機能の組み合わせであることがわかります。

1. Vは持っています $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ 合同、すなわち任意の合同のために $\rm\,E,E'$ の任意のメンバーの $V,$ から $\,\rm 0/E = 0/E'$ 続く $\rm\,E = E'$。

2. Vは持っています $\,\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}\,$ 合同、すなわち任意の合同のために $\,\rm E,E'$ の任意のメンバーの $V,$ もし $\,\rm 0 \ E\ y \ E'\, x,\,$ それからいくつかのために $\rm z,\ 0\ E'\, z\ E\ x.$

Answer 2

これは「通常」は真実ではありません。たとえば、モノイドや半環には当てはまりません。それが群環と環に当てはまるというのは非常に特別な事実であり、どちらの場合も同じ理由で当てはまります。逆数の存在により、同値関係について考えることを置き換えることができます。$a \equiv b$ 考えて $b^{-1} a \equiv 1$ グループ（通常のサブグループを生成する）および $a - b \equiv 0$ リング用（理想を生み出す）。

また、厳密に言えば、理想は環の圏のサブオブジェクトではないことにも注意してください（アイデンティティ付き）。

Answer 3

これは一般的に誤りです。それが群環と環で成り立つという事実は、それぞれの場合に単位元と逆元を伴う演算、すなわちそれぞれ群環または環の加算があるという事実によるものです。

そのような操作がある限り、すべての合同は確かに単一のクラスによって決定されます。これを見るために、$S$ は可逆演算の構造です $*$、 $a\in S$、および $\sim,\approx$ 合同関係は $S$ と $[a]_\sim=[a]_\approx$。修正$b\in S$; 見せたい$[b]_\sim\subseteq[b]_\approx$ （対称性と普遍汎化によって、そこから得られます $\sim=\approx$）。

仮定します $b\sim c$。次に$b b'a\sim cb'a$、 どこ $x'$ を示します $*$-の逆 $x$。これの意味は$a\sim cb'a$、など $[a]_\sim=[a]_\approx$ 我々が得る $a\approx cb'a$。ここで、前の手順を元に戻します。右側で乗算します。$a'b$ 取得するため $b\approx c$ 望んだ通りに。