合計する有向角の問題 ${\pi \over 2}$。

Question

私は自分の本（EGMO補題1.30）のセクションを解決していました。そこでは、著者が方向角の使用について説明しています。

ポイント $A, B, C$ 中心のある円の上に横たわる $O$。それを示す$\measuredangle$ $OAC$ = $90^\circ$ − $\measuredangle$ $CBA$。

指向角をで示しましょう $\measuredangle$。（どこにでも）

これが試みです。著者は青で方向付けられた角度について話します、そしてそれはそれらが半分になることを示すことになっています$\pi$ラジアン。赤い線は私自身の構造です。

指向角によって、私たちはそれを知っています $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$（円周角の定理）。
そしてまたそれ$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ （三角形 $OAC$ 二等辺三角形です）。

今、有向角の定理によって、 $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

しかし、この後、モジュロで作業しているため $\pi$ ラジアン、乗算または除算することは理解できません $2$、私がしなければならないので、私の試みは失敗しました。

答えはありがたいことに大歓迎です。

Answer 1

指向角によって、私たちはそれを知っています $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$（円周角の定理）。
そしてまたそれ$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ （三角形 $OAC$ 二等辺三角形です）。

今、有向角の定理によって、 $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

この後、私たちは書くことができます $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$ と再置換 $\measuredangle$ $COA$ なので $2\times \measuredangle$ $CBA$

我々が得る、 $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=0^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

これは次のように書くのと同じです $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=180^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

両側をで割る $2$、取得に進みます $\measuredangle$ $OAC$ + $\measuredangle$ $CBA$ = $90^\circ \ (\text{mod}\ 90^\circ)$

using : If a ≡ b (mod c) and gcd(c, d) = g then a/d ≡ b/d (mod c/g)

したがって、証明されました。