剛体のすべての動きが一度に停止するのはなぜですか？
私は問題を提示した本を読んでいました：
不満を持ったホッケー選手がホッケースティックを氷に沿って投げます。それに沿ってスライドすると、重心を中心に回転し、最終的には摩擦の作用によって静止します。その回転の動きは、重心が静止すると同時に停止します。前後ではありません。理由を説明。
私は同様の質問を見ました：アイスホッケーが氷の上に投げられたとき、静止する前に常に回転して一緒に移動するのはなぜですか？なぜ回転するだけでなく、移動するだけでもないのですか？しかし、私は答えに満足しているようには感じませんでした。
質問はエネルギーの章にあったので、私はそれをエネルギーで解決しようとしました。COMの摩擦力がFで、停止する前にsの距離を移動した場合、次の式を書くことができると思いました。$\frac{1}{2}mv^2 = Fs$ここで、LHSは初期運動エネルギーを表します。回転エネルギーについても同様の方程式を書くことができますが、その後どうしたらよいかわかりません。それを厳密に証明しようとするのは合理的ですか、それとも単に推論するだけですか？
この質問について考えることから生まれたもう1つの質問は、摩擦が1点だけでなくスティック全体に分散しているため、摩擦によってもたらされるトルクをどのように測定するかということでした。
回答
スティックがバーであり、その長さに沿って地面と単純に接触している場合、回転に対抗する摩擦力は、COMに固定された均一に分散された荷重を持つ2つの片持ち梁としてモデル化することを示唆します。摩擦荷重はその長さに沿って分散され、最大になります。COMに近いトルクで、両端がゼロです。
したがって、端に近い小さな領域の場合、合計トルクはこの領域の負荷からのみ発生します。 $$\delta \tau = \delta I\frac{d\omega}{dt}$$ $\delta \tau = \delta Fr$ 要素の摩擦力は $\delta F = \mu \delta N = \mu \delta m g$
慣性モーメント $\delta I = \delta m r^2$ そして $$\omega = \frac{v}{r}$$
そう、 $$\mu \delta m g r = \delta m r^2 \frac{1}{r} \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = \mu g $$
同じ領域で平均並進速度を下げる力を計算すると、次のようになります。 $$\delta F = \delta m\frac{dv_t}{dt} = \mu \delta N = \mu \delta mg \implies \frac{dv_t}{dt} = \mu g$$
同じ加速の下で、それらは一緒に減少しなければなりません。バーの端で発生した場合、このモデルでは、すべてのボディが回転を停止し、同時に直線的に移動します。
しかし、たとえば、中央部分が接触しているが端が接触していない場合、並進運動を停止した後、バーが回転し続ける可能性は完全にあります。
私はその声明が正しくないと思います。一般に、スライドするオブジェクトは、他のモーションが停止する前に、回転または移動を停止できます。1つしかない場合があります。
たとえば、均一なディスクを取り上げます。それを回転させ、氷の上に置きます。しばらくその場で回転し、停止します。同様に、回転させずにスライドさせます。スライドして止まります。
リンクした投稿が示すように、ホッケースティックは特別です。両端で摩擦係数が異なります。スライドさせるだけで回転させることができます。しかし、そうする必要はありません。弓矢を撃つように、摩擦の大きい端を後ろにしてスライドさせます。回転せずにスライドして停止します。
少し回転させて速度を上げると、スライドして止まる前に摩擦によって方向が変わる可能性があります。
他の答え（両方に+1）を読んだ後、私は私の直感が間違っていたと結論付けました。回転と平行移動は同時に停止します。
ここで、薄いディスクを摺動し、紡糸の結合を解析した紙であり、その理由の両方の動きを同時に停止します。この論文は、数学モデルを確立し、理論をテストするナイロン表面上のCDを使用した実験の結果を報告します。
コメントに応じて編集：数学モデルは、均一な質量分布を持つ平らなディスクを想定し、その有限の高さからの影響（湾曲した軌道につながる不均一な垂直力）を明示的に無視します。実験では、近似値としてCDを使用します。トップの動作は異なる場合がありますが、トップの先端は、移動するのに十分ではない力（歳差運動、空気の吹き込み、表面の凹凸など）の結果として表面に沿って「さまよう」ことがわかります。それが回転していなかった場合。
回転と滑りの間のこの相互作用の根本的な理由は、動摩擦が運動の速度とは無関係であるということです。法線力（ここでは重力）と材料定数にのみ依存します。すべての表面点でのその方向は、その点の速度の方向と反対です。高速で回転するスライドオブジェクトでは、回転部分がベクトルを支配しているため、すべての速度ベクトルはほぼ完全に接線方向になります。ベクトルの大きさは非常に大きいですが、無関係です。摩擦力はそれに依存しません。その結果、摩擦力もほぼ完全に接線方向になります。それらはほとんど前進運動に関して互いに打ち消し合い、回転だけを遅くします。1
事実上、回転が前進運動に比べて速い場合、摩擦トルク（回転を遅くする）は線形摩擦力（前進運動を停止する）よりも高くなります。逆もまた同様です。これが、2つの動きの「速い」方が、整列して一緒に停止するまで、さらにブレーキがかかる理由です。下の図（論文のp。2）は、その相互依存性を示しています。$\epsilon$ は前進運動と角運動の商であり、 $v/R\omega$。直線運動が少ないが回転が速い場合は摩擦トルクが支配的であり（図（a）の左側）、回転が少ない高速直線運動の場合は直線摩擦が支配的です（図の右側）。
1これはやや珍しいことです。私たちはしばしば速度や力をそれらの構成要素に「分析」し、それらを個別に独立して検討します。この場合、横方向の成分はベクトルの方向を変えるため、縦方向の摩擦に影響しますが、その逆も同様です。特定の方向の摩擦は、その方向のベクトル成分の大きさに依存しないためです。その成分の大きさは一定ですが、摩擦は一定ではありません。かなり直感に反します。