行列内の級数展開の計算：行列指数
私は $(3 \times 3)$ マトリックス $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & - e^{-i \theta} & 0 \\ e^{i \theta} & 0 & - e^{-i \theta} \\ 0 & e^{i \theta} & 0 \end{pmatrix} $$ 行列指数を計算したい $\exp(t Y) = I + t Y + \frac{t^2 Y^2}{2!} + \ldots $ させたら $z : = e^{i \theta}$、 私が持っています $$ Y^2 = \begin{pmatrix} - |z|^2 & 0 & |z|^2 \\ 0 & -2 |z|^2 & 0 \\ |z|^2 & 0 & - |z|^2 \end{pmatrix} \\ Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \overline{z} |z|^2 & 0 \\ |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & -2z |z|^2 & 0 \end{pmatrix} $$ そして $$ Y^4 = \begin{pmatrix} - \overline{z} |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & - \overline{z} |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & 4 |z|^4 & 0 \\ z |z|^2 (-z- \overline{z}) & 0 & z |z|^2 (z+ \overline{z}) \end{pmatrix}. $$ 設定 $|z| = 1$ 五乗以上の行列指数を計算します $Y^5$、私は得た $$ \begin{pmatrix} 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (2 \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 4 \overline{z} + \ldots & \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots \\ tz - \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) + \frac{t^5}{5!} 2 (z + \overline{z}) + \ldots & 1 - \frac{2 t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} 4 + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 2 ( z+ \overline{z}) + \ldots \\ \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots & tz - \frac{t^3}{3!} 2 z + \frac{t^5}{5!} 4 z + \ldots & 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots \end{pmatrix} $$ 私はこれを助けて書き直すことができなければならないと思います $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$ そして $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$。
たとえば、私が見ると $a_{22}$ 上記の用語、私はそれがほとんどであることがわかります $\cos(t)$、うまくいかない数値的要因を除いて。また、$a_{11}$ 用語はほぼです $\cos(t)$、用語が表示されることを除いて $\overline{z} (z+ z)$ 四乗以降、同じことが起こります $a_{33}$ との用語 $z$ そして $\overline{z}$切り替えました。ザ・$a_{32}$ 用語は $z \sin(t)$、しかし、やはり数値係数はうまくいきません。
質問：誰かがこれらのエントリ（つまり級数）のパターンを認識し、行列指数を計算できますか？$e^{tY}$ 閉じた形で？
また、行列指数は何でしょうか $\exp(tZ)$ 「一般化」の $$Z = \begin{pmatrix} 0 & - \overline{z} & - \overline{z} \\ z & 0 & - \overline{z} \\ z & z & 0 \end{pmatrix} $$ と $z = e^{i \theta}$ 再び？
回答
設定 $z = e^{i \theta}$良い考えです。次の場合は少し明確になります$(- e^{-i \theta})$ に置き換えられます $-1/z$ の代わりに $-\overline z$ （そしてそれは複雑な場合でも結果を正しくします $\theta$）。
だから私たちは持っています $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & -1/z & 0 \\ z & 0 & -1/z \\ 0 & z & 0 \end{pmatrix} $$ そして最初の力は $$ Y^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/z^2 \\ 0 & -2 & 0 \\ z^2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\, , \, Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2/z & 0 \\ -2z & 0 & 2/z \\ 0 & -2z & 0 \end{pmatrix}\,. \\ $$ それを見ることができます $\boxed{Y^3 = -2Y}$、すべての累乗を計算できます $Y^n$ の面では $Y$ または $Y^2$： $$ Y^{2k+1} = (-2)^{k} Y \\ Y^{2k+2} = (-2)^{k} Y^2 $$ ために $k \ge 1$。したがって、$$ \begin{align} \exp(tY) &= I + \left(t-\frac{2t^3}{3!} + \frac{2^2t^5}{5!} - \frac{2^3t^7}{7!} + \ldots\right)Y \\ &\quad + \left(\frac{t^2}{2!} - \frac{2t^4}{4!} + \frac{2^2t^6}{6!} - \frac{2^3t^8}{8!} + \ldots \right)Y^2 \\ &= I + \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}Y + \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right)Y^2 \, . \end{align} $$
一般的なケースは、行列指数の計算で説明されています。ケイリーハミルトン法：If$A$ は $n$-次元の正方行列と $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 特性方程式の零点 $\det(\lambda I - A) = 0$、その後 $$ \exp(tA) = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k A^k $$ どこ $\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}$ 線形方程式系の解です $$ e^{\lambda_i t} = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k \lambda_i^k \, , \, 1 \le i \le n \, . $$
私たちの場合には $\det(\lambda I - Y) = \lambda^3 + 2 = 0$ ゼロがあります $\lambda_1 = 0$、 $\lambda_2 = i\sqrt 2$、 $\lambda_3 = -i \sqrt 2$。一次方程式系は$$ \begin{align} 1 &= \alpha_0 \\ e^{i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 + i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \\ e^{-i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 - i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \end{align} \, . $$ 解決策は $$ \alpha_0 = 1, \, \alpha_1 = \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}, \, \alpha_2 = \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right) $$ 結果の確認 $\exp(tY)$ 上記で取得したもの。