行列式とトレースが与えられた3x3行列の固有値を見つける
と仮定します $3×3$行列Aには2つの異なる固有値しかありません。仮定$\operatorname{tr}(A)=−1$ そして $\det(A)=45$。の固有値を見つける$A$。
traceとdeterminantのプロパティ（trace = a + dおよびdet = ad-bc）を使用して、2x2行列で同様の問題を解決しました。特性多項式の表現ははるかに複雑であるため、3x3行列に対して同じアプローチをとろうとしましたが成功しませんでした。私が取ることができる他のアプローチはありますか？
回答
あなたの固有値が $x$ そして $y$。あなたのマトリックス$A$ 対角行列に似ています $B$対角線上に固有値があります。
これで、同様の行列は同じ行列式と同じトレースを持つため、次の方程式を得ることができます。$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$最初のものは対角線の合計です（したがって、2つの固有の固有値があることがわかっているため、そのうちの1つは対角線上に2回表示されます）。
2つ目は、対角（対角行列の行列式）の積です。
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$
もし $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ そして $2x+y=-1$。そしてそれが私たちの答えです:)
行列が成り立つ $A$ それ $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ 1つの固有値が2回あるので（私は $\lambda_1$）これにより、次のようになります。 $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$
//編集：修正された結果：これを解決して、次のことを行うことができます：
$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$