母関数を使用して、不均一な漸化式を解きます

Question

しましょう $a_0=0, a_1=2,$ そして $a_2=5$。母関数を使用して漸化式を解きます。$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ にとって $n\geq0$。

これは、AppliedCombinatoricsの本の問題です。私は取り組むことについて本当に混乱しています$2^n$ 母関数を使用した漸化式の一部。

編集：

漸化式を系列に変換する必要があることを知っていて、それを分解しましたが、部分分数を実行するために適切な形式にするのに苦労しています。これらは私が何とか得た方程式です。

させたら $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ の母関数である $a_n$ それから私が得た計算の後：

$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$

単純化した後： $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$

次に、部分分数分解は次のようになります。 $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$

値をプラグインしようとしましたが、何かが正しくないようです。どこが間違っていたのか教えてください。

Answer 1

母関数の導出のどこかで間違いを犯しました（この部分を含めなかったため、どこにあるのかわかりません）、私は持っています

\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} に解決します \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} あなたの解決策をチェックしてください、うまくいけば、あなたはここからそれを終えることができます。