反ドジッター時空特性
nLabを読んで学んだ（https://ncatlab.org/nlab/show/anti+de+Sitter+spacetime）次元の反ド・ジッター時空 $d$、 $AdS_d$、同相である $\mathbb{R}^{d-1} \times S^1$。このリンクの最初の画像をインスピレーションとして使用しようとしましたが、それでも、これら2つのスペースが同相である理由を概念的に理解するのに苦労しています。誰か説明できますか？また、この最初の画像で提供されているAdSの寸法はどのくらいですか？
回答
時々詳細に議論されないことは、物理学者が反ド・ジッター空間と呼ぶものは実際には部分多様体ではないということです
$$\sum_{i = 1}^{d-1} (x_i)^2 - (x_d)^ 2 - (x_0)^2 = -R^2$$
の $\mathbb{R}^{d-1,2}$。取る$d=2$ 具体性のために：定義式は次のようになります
$$x_1^2 - x_2^2 - x_0^2 = -R^2,$$
どこ $x_0$ そして $x_2$時空の座標です。これは、回転対称の1枚の双曲面です。$x_1$空間のような軸である軸。したがって、その時間座標は双曲面の周りを移動することに対応し、したがって周期的です！それはのトポロジーを持っています$\mathbb{R} \times S^1$。
これは物理的にあまり合理的（または有用）ではないため、通常は反ド・ジッター時空と呼ばれるものではなく、リンクの画像が示すものでもありません。もう少し現実的なものを得るために、私たちはこの時空の普遍的なカバーを取ります。必要に応じてユニバーサルカバーの定義を調べることができますが、基本的にはローカルメトリックプロパティを共有する別の時空になりますが、元の時空のグローバルトポロジは共有しません。あまり抽象的ではありませんが、同じメトリックを維持し、双曲面を「展開」して、時間座標が周期的でなくなるようにします。この時空にはトポロジーがあります$\mathbb{R}^d$、そして写真に示されているものです。