半球を通る電束
私の先生はこの質問を投げかけました、そしてそれは私に考えさせました。
均一な電界に置かれたときの半径Rの半球の曲面領域を通る電束は？
その前に、ある領域を垂直に通過する力線の数としてのフラックスの定義を教えられました。（線が垂直でない場合は、力線の成分を使用します）
これで、基本的には次のようになります（図を添付できません）。半球がボウルの場合、力線はボウルに垂直になります。
円形の開口部のすぐ前の半球の部分だけがすべての力線を取得しますが、面積ベクトルは表面全体で方向を変え続け、EとAの間の角度を変えます。フラックスはドットです。 EとAの積なので、フラックスは（少なくとも）影響を受けるはずですが、私の先生はフラックスが $EπR^2$質問の直前に、EとAの間の角度の変化がフラックスにどのように影響するかについて彼が教えてくれたので、今私は混乱しています。私はオンラインソリューションを調べましたが、それは私の先生のものと一致しています。助けてください。
回答
あなたは正しい方向に沿って考えています（駄洒落を許してください）が、総フラックスはまだです $\phi_E = \pi R^2 E$。力線は、曲面上のさまざまなポイントで法線ベクトルに対してさまざまな角度になるというのは正しいことです。曲面を多くの小さな領域に分割すると、それぞれを通過するフラックスは次のようになります。$d\phi_E = \textbf{E} \cdot \textbf{dA},$ドット積は、それらが常に互いに「整列」しているとは限らないという事実を捉えています。曲面領域のすべての小さなフラックスを合計すると、次のようになります。$$ \int_{\text{Curved Surface}} \textbf{E} \cdot \textbf{dA} = \phi_E = \pi R^2 E$$たとえば、極座標で積分を実行した場合。（答えを読みやすくするためにここに計算を含めていませんが、必要に応じてすべてを含めることができてうれしいです。これは多変数微積分の単純な問題にすぎません。）
ただし、少し創造的に考えると、同じ結果を得るはるかに簡単な方法があります。半球の曲面を通過するすべてのフラックスは、平らなベースも通過します。実際、反対側の形状が何であるかは関係ありません-半球または円錐または他のものであるかどうか-それが閉じた表面であり、電界が一定である限り、それはキャッチします'フラットベースと同じくらいのフラックス。
そのため、全光束がされ、常にになるだろう$\phi_E = E \cdot \text{Area of the Base}.$
あなたが正しい、間の角度 $\mathbf{E}$ と微小領域 $\text{d}\mathbf{A}$ フラックスの値に影響を与えますが、フラックスが影響を与えないのはこのためです$2\pi R^2 E_0$ あなたが「素朴に」想像するかもしれないように（$2\pi R^2$ 半球の領域である）。
これを見る簡単な「直感的な」方法は次のとおりです。フィールドは表面のどこでも一定であるため、見つける必要があるのは、フィールドの大きさと表面の投影の積だけです。$xy-$平面（つまり、フィールドの方向に垂直）。壁の前に配置される半球を想像してみてください。電界は、その断面を照らす「トーチライト」です。遮断された全光の面積はどれくらいですか？球によって投影される影の領域になります。$\pi R^2$光がどこでも均一なら。その領域を通過する電界磁束は、この「投影された」領域と電界強度の積にすぎません。$E_0 \pi R^2$。
確信が持てない場合は、実際に計算するのはそれほど難しくありません。演習として行うことをお勧めします。私はあなたのために手順をスケッチします：電束はによって与えられます$$\phi_E = \iint\mathbf{E}\cdot\text{d}\mathbf{A},$$ そしてあなたの場合 $\mathbf{E} = E_0 \mathbf{\hat{z}}$ と $E_0$ 定数であること、つまり $$\phi_E = E_0 \iint\mathbf{\hat{z}}\cdot\text{d}\mathbf{A},$$
上の画像から、球の表面の面積要素（と呼ばれる）を見ることができるはずです。 $\text{d}^2\mathbf{S}$ 画像内）は $R^2 \sin{\theta}\text{d}\theta \text{d}\phi \mathbf{\hat{r}}$。実現する重要なポイントは（あなたが指摘したように）それです$\mathbf{\hat{r}\cdot \hat{z}} =f(\theta)$、 どこ $f(\theta)$ の非常に単純な関数です $\theta$。（幾何学的に計算することをお勧めします。）
この事実を使用して、あなたはそれを見つけることができます
$$\phi_E = E_0 \int_0^{2\pi} \text{d}\phi \int_0^{\pi/2} R^2 \sin{\theta} f(\theta) = 2 \pi R^2 E_0 \int_0^{\pi/2} \sin{\theta} f(\theta).$$
期待どおりにすべてを計算した場合は、それを見つける必要があります $\phi_E = \pi R^2 E_0$。