平方根のローラン展開
私は次の2つの部分の問題を抱えています:
(a)それを証明する $(z^2 - 1)^{-1}$ に分析平方根があります $\mathbb{C} - [-1,1]$
(b)ドメイン上のパート(a)から分析平方根のローラン展開を見つけます $\{a: |z| > 1 \}$、を中心に $z = 0$。
パート(a)については、メビウス変換に注意します $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ マップします $\mathbb{C} - [-1,1]$ に $\mathbb{C}-(-\infty,0]$。以来$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ 単に接続され、 $F$ がゼロ以外 $\mathbb{C} - [-1,1]$、の単一値の分析ブランチを定義できます $\sqrt{F(z)}$ オン $\mathbb{C} - [-1,1]$。次に、簡単な計算によって
$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$
の分析平方根です $(z^2 - 1)^{-1}$ に $\mathbb{C} - [-1,1]$。
しかし、パート(b)の進め方がわかりません。どんな助けでもいただければ幸いです。
回答
一部によって $(a)$ なぜなら $|z|>1$、もし $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ 対数の主分岐を使用して、 $\sqrt {w^2}=w.$ 次に、 $Z=1/z^2$ 二項定理が有効であることに注意してください $|z|>1,$ 計算します
$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$
$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$
場合 $\theta$ 負の実軸上にある場合は、それに応じて分岐カットを選択し、上記の計算を繰り返します。 $0<\theta<2\pi$。
私も得ることができると思います $(a)$基本的な手段によって。定義上、
$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$。この関数には分岐点があります$1$ そして $-1$ だがしかし $\infty$ ダイアグラムを実装することができます

設定 $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ そして $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ そして $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$
直接計算によって分析性を証明します。それはケースを検討することになります。