平易な英語で「離散」とはどういう意味ですか？
誰かが「離散」関数が実際に何を意味するのかを哲学的な意味で平易な英語で説明できますか？
推測として、離散とは、既知の値を持つ点のみがあり、その間に何もないことを意味しますか？もしそうなら、どういうわけかポイントの間に何があるのかを本当に知ることは可能ですか？
つまり、線形補間はもちろん「それを混乱させる」ことであり、曲線を一連の線に単純化します。多分多項式補間？
ドットの間に何が入るかを100％正確に表す方法はありますか？
言うまでもなく、すべての計算値は「離散的」ではありませんか？つまり、グラフ電卓やdesmos.comなどがグラフを描くとき、実際には方程式の一連の出力値をプロットしているのではなく、ギャップが見えないほど小さい増分でしかプロットされていませんか？
だから私が求めているのは、実際には次のような離散関数の間に、より深く根本的な違いがあるのかということです。
y_0 = 10
y_(i+1) = C/2 + y_i
vs「通常の」関数のような
y = x
それとも、同じようなパターンがコンピューターによって異なって表現されているだけの問題ですか？Bc両方の機能は永遠に続くことができます。そして、最初は離散的な「ステップ」で進行しますが、それが表すパターンはより小さなスケールで存在する必要があり、この方程式の「レンズ」によって「キャプチャ」されない可能性がありますか？Idk。
回答
距離空間または他の位相空間（線や平面など）の離散集合または $3$次元ユークリッド空間は、すべての点が（トポロジー的に）分離されている空間です。つまり、セット内の各ポイントには、セット内の他のポイントを含まない開いた近傍があります。
たとえば、整数のセット $\{0,\pm1,\pm2,\pm3,\ldots\}$ たとえば、ほぼすべての整数であるため、離散的です。 $5,$ あなたは開いた間隔を見つけることができます、言う $(5-0.1,5+0.1),$ 他の整数は含まれていません。
そしてセット $\left\{ \tfrac 1 n : n=1,2,3,\ldots\right\}$ 離散的ですが、限界点を追加すると $0,$ 取得 $\left\{ \tfrac 1 n : n=1,2,3,\ldots\right\} \cup\{0\},$それは離散的ではありません$0$は孤立点ではなく限界点です。言い換えれば、あなたが考えているオープンインターバルがどんなに小さくても、$0,$ その間隔には、セットの他のメンバーも含まれます。
離散確率分布は、完全に点質量で構成される分布です。したがって、確率変数（大文字）の場合$X$ その特性を持っています $\sum_x \Pr(X=x)=1,$ ここで、合計はすべての値を超えています（小文字） $x$ その（資本） $X$ に等しい可能性があります。
無限大にはさまざまな種類があります。最小の無限大は自然数であり、$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots \}$。そのサイズを呼びます$\omega$。
多くのセットはと同じサイズです $\mathbb{N}$。たとえば、偶数のセットにもサイズがあります$\omega$、または素数のセット、または数のペアのセット。
直感的には、これは意味がないと思うかもしれません。自然数の半分の偶数はありませんか？2つの数字のペアはもっとたくさんありませんか？
数学的には、2つのセットの要素をペアにして、どちらのセットの要素もそのままにしない場合、2つのセットは同じサイズになります。言い換えれば、無限集合を取り、その要素を数えることができる場合、$1, 2, 3, \dots$、そしてすべての要素がこのカウントのある時点で表示されることを確認すると、このセットのサイズは次のようになります。 $\omega$。
離散（また、可算）を以下の集合と呼びます$\mathbb{N}$ -その要素を数えることができます。
ただし、より大きな無限大があります $\omega$。そのような例は実数のセットです。実数を自然数と一致させようとしても、常に実数が省略されることが証明されています。そのため、実数直線は離散的ではありません。
あなたが持っているポイントのセットであなたが持っている例はトリッキーです。多くの異なる離散セットがあります。
整数を使用するとします。次に、整数のみがあり、それらの間に何もありません。
ただし、有理数、つまり分数があります。分数も本質的に整数のペア（分子と分母）であるため、離散的です。ただし、任意の2つの分数の間には、より多くの分数があります。実際には、数え切れないほどの数です。それでも、不合理な数は単にそこにありません。
不合理なポイントであっても、実際のライン全体で何が起こるかに興味がある場合は、すべての意図と目的のために、個別のセットに取り組んでいません。
データを収集するとき、データは離散的です。観測数には限りがあります。次に、そのデータを連続曲線に適合させて、そのデータをモデル化する場合があります。すべてのデータにエラーがあることを覚えておく価値があります。ポイントが実際にどこにあるかを知ることは可能ですか？補間されたポイントだけでなく、任意のポイント。
数学は、現実の世界ではない理想的な世界で機能します。私たちは純粋に数学的なオブジェクトを扱っています。曲線をどのように定義したかにより、曲線は連続しています。区間内のすべてのxに対して、yが存在します。それらのy値を明示的に計算することを選択するかどうかにかかわらず、それらはそこにあります。グラフ作成ソフトウェアは有限の数の点しか表していないため、このソフトウェアはより深い数学の世界のシミュレーションです。