変容中のエルゴード性

Question

仮定します $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ 製品トポロジーを備えており、Borelを備えています $\sigma$-代数 $\mathcal B(\Omega)$ 確率測度があります $\mathbb P$ オン $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ そのようなシフト $T:\Omega \to \Omega$、 $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ 測度保存、すなわち $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ オン $\mathcal B(\Omega)$、およびエルゴード性、すなわち $A=T^{-1}(A)$ 意味する $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ のために $A\in\mathcal B(\Omega)$。さあ、$f:[0,1]^3\to[0,1]$ 可測関数と $U:\Omega \to \Omega$ によって定義された変換 $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ 確率測度を検討します $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ どこ $U^{-1}$ プリイメージを示します。

次に、 $T\circ U= U\circ T^2$、それはそれを保持します $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$はまだ測度保存力学系です。それもエルゴードですか？

編集：確率測度の例は何ですか$\mathbb P$ オン $\mathcal B(\Omega)$ とセット $A\in\mathcal B(\Omega)$ そのような $T^{-2}(A)=A$ だが $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ （したがって、必然的に $T^{-1}(A)\neq A$）？

Answer 1

答えは否定的です： \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}

確率 $\mathbb P$ 状態空間上の既約マルコフ連鎖に対応します $\{0,1\}$ 遷移行列付き $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ 独特の定常分布を持っています $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$。このmath.SEの答えに照らして、動的システムに質問します。$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$測度保存力学とエルゴード性です（ただし、混合はしません）。さて、$T^{-1}(A)=A$ だが $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ どこから $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $。