変数分離を偏微分方程式に適用すると、解が失われますか？
たとえば、次の問題について考えてみます。 $$\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\hspace{0.5cm} u(x,0)=f(x),\hspace{0.5cm} u(0,t)=0,\hspace{0.5cm} u(L,t)=0$$教科書（例：Paul's Online Notes）は通常、変数分離を適用します。$u(x,t)=\varphi(x)G(t)$ なぜこの仮定をすることができるのか説明なしで。
2つの変数の関数があることを考えると、そのように解を失うことはありますか？ $x$ そして $t$ それは個々の変数の関数の積ではありませんか？
変数の分離は、境界条件のみを考慮する場合、次の解決策を提供します。 $$u_n(x,t) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t},\hspace{0.5cm}n=1,2,3,\dotsc.$$
方程式は線形であるため、次の重ね合わせを行うことができます。 $u_n$： $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}B_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}$$ どこ $B_n$ 初期状態から検出されます： $$B_n = \frac{2}{L}\int\limits_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx,\hspace{0.5cm}n=1,2,3,\dotsc.$$
解決策はありますか $u(x,t)$それはこのように表現することはできません（この特定のpdeではなく一般的に）？非線形方程式の場合はどうなりますか？そこで変数分離を適用できますか？
回答
あなたの主張する解決策を検討してください $u(x,t)$ 固定で $t$、すなわち、それを $x$。このような関数は、関数の完全なセットで拡張できます$f_n (x)$、 $$ u(x,t)=\sum_{n} u_n f_n (x) $$ 別の固定を選択するとどうなりますか $t$？の境界条件が$x$ 方向は変わりません（あなたの例の場合）、同じセットで展開できます $f_n (x)$、だから、 $t$-依存関係は係数にあります $u_n $ -の別の機能を展開すると変化するものです $x$ 同じセットで $f_n (x)$。したがって、の完全な機能依存性$u(x,t)$ 次のように書くことができます $$ u(x,t)=\sum_{n} u_n (t) f_n (x) $$したがって、分離仮説を立てるとき、私たちのソリューションが製品であるとは想定していません。私たちは、ソリューションを拡張できる製品形態の基礎を構築できると述べているだけです。これは、大規模なクラスの問題に対する制限ではありません。前の議論から明らかなように、これは、$x$ 方向は依存します $t$ -同じセットで展開することはできません $f_n (x)$ それぞれについて $t$。たとえば、ドメインが三角形で、$x$-間隔は $t$、あなたの例の正弦関数の周波数は次のようになります $t$-依存。
あなたが正しく指摘したように、最終的に私たちは分離可能なソリューションの重ね合わせとしてソリューションを書くので、正しい質問は本当に「分離可能なソリューションの合計として偏微分方程式のすべてのソリューションを表現できますか？」
この質問に完全に答えるには、少し線形代数が必要です。私たちがやりたいのは、一連の関数を見つけることです$\{\varphi_n(x): n \in \mathbb{N}\}$ 毎回 $t$ ソリューションを書く $f$ なので $f = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(x) G_n(t)$ どこ $G_n$時間に依存することが許されているいくつかの係数です。このような関数のセットが存在するだけでなく、変数分離のプロセスを通じて実際にこれらの関数のセットを見つけることができます。
熱方程式をもう一度考えてみましょう。変数を分離するとき、状況を2つのODEに減らします。
$$G'(t) = EG(t), \varphi''(x) = \frac{E}{k}\varphi(x) $$ どこ $E$ いくつかの未知の定数です。
微分は線形であることに注意してください。つまり、関数の場合です。 $f$ そして $g$ および定数 $a,b$ 我々は持っています $\frac{d}{dx}(af(x)+bg(x)) = a\frac{df}{dx} + b \frac{dg}{dx}$。これが意味するのは、2つのODEが固有値問題であるということです。演算子の固有値問題があります。$\frac{d}{dx}$ 固有値付き $E$、および演算子の固有値問題 $\frac{d^2}{dx^2}$ 固有値付き $\frac{E}{k}$。
の固有ベクトルが必要です $\frac{d^2}{dx^2}$ （つまり、私たちのソリューション $\varphi$ODE）私たちの機能空間の基礎を形成します。幸いなことに、まさにこの種のことを私たちのために行う定理があります。
スペクトル定理：
しましょう $V$ ヒルベルト空間になり、 $T: V \to V$（十分に素晴らしい）自己随伴マップ。次に、の正規直交基底が存在します$V$ これは、の固有ベクトルで構成されています $T$。
これを理解するために、1つの最終成分が必要です。それは内積です。これは、おなじみの「ドット積」を3次元で一般化したものにすぎません。2つの関数の内積$f$、 $g$ は実数であり、次のように定義されます。 $$\langle f,g\rangle := \int_{0}^{\infty} f(x)g(x) dx$$。
機能の基礎 $\{f_n: n \in \mathbb{N}\}$次の場合、正規直交と呼ばれます$\langle f_n, f_n \rangle = 1$ そして $\langle f_n, f_m \rangle = 0$ いつ $n \neq m$。
最後に、オペレーターが $\frac{d}{dx}$随伴作用素です。これが意味するのは、任意の2つの関数についてです$f$、 $g$ 私たちはそれを持っています $\langle \frac{d^2 f}{dx^2},g\rangle = \langle f,\frac{d^2g}{dx^2} \rangle$。これは、パーツごとの統合によって実行できます。
$$\int_{0}^{L} f''(x)g(x) dx = - \int_{0}^{L} f'(x)g'(x) dx = \int_{0}^{L} f(x)g''(x) dx$$ ここで、境界条件はそれらがゼロであることを示しているため、境界項を破棄しました。
したがって、演算子 $\frac{d^2}{dx^2}$ は自己随伴作用素であるため、スペクトル定理は、その固有ベクトルが関数空間の基底を形成することを示しています。 $t$我々は表現することができますどのように選択した機能を$$f = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(x) G_n(t)$$したがって、このような方程式を書くことができるという点で、解を失うことはありません。ここでは、いくつかの技術的な問題をスキップしました。ヒルベルト空間とは何かについては説明していません。「任意の」関数とは、実際には「任意の自乗可積分」関数を意味します。しかし、私はこれらの技術が理解において重要であるとは思いません。
おもしろいおまけとして、内積ができたので、それを使用して、級数解の係数を簡単に導出できます。ソリューションを次のように記述します$$f(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(t) G_n(x)$$ そして今、の内積を取りましょう $f$ 基本要素付き $\varphi_n(x)$。これは私たちに与えます
$$\langle f(x,0), \varphi_n(x) = \langle \sum_{k=0}^{\infty} \varphi_k(x) G_k(0), \varphi_n(x) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} G_k(0) \langle \varphi_k(x) , \varphi_n(x) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} G_k(0) \langle \varphi_k(x) , \varphi_n(x) \rangle $$
ここでは、統合と合計を交換しました。最後に、基底の正規直交性$\{\varphi_k(x)\}$ 1つを除くすべての項がゼロであることを意味します。 $$ \langle f(x,0), \varphi_n(x) = G_n(0) $$ それを思い出します $G_n(t) = B_n e^{-k\frac{n\pi}{L}^2 t}$、 そう $B_n = G_n(0)$ 積分の観点から内積公式を書くと、次のようになります。 $$\int_{0}^{L} f(x,0) \varphi_n(x) dx = \int_{0}^{L} f(x,0) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx $$ これは、級数係数の通常の式です。
変数分離の方法は、方程式の対称性から導き出されます。たとえば、W。Millerの著書Symmetry and Separation of Variables（絶版ですが、こちらから入手できます）を参照してください。
非線形方程式の変数分離は、Victor A. Galaktionov、Sergey R. Svirshchevskiiの著書、「非線形偏微分方程式の正確な解と不変部分空間」、Chapman and Hall / CRC2007で扱われています。