非アーベル群の位数の行列表現 $p^3$?
Aug 16 2020
あなたが秩序のグループを見るとき $p^3$ (奇数の場合 $p$) がある $2$非アーベルのもの。1つは、の半直積と見なすことができるハイゼンベルク群です。$C_p \times C_p$ そして $C_p$。
GAPを使用したいくつかの計算に基づいて、もう1つはの半直積であることがわかります。 $C_{p^2}$ と $C_p$。
この他のグループは、おなじみのマトリックスグループと見なすことができますか?
gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"
回答
3 DavidA.Craven Aug 16 2020 at 19:27
一言で言えば、「いいえ」。そのことに注意してください$\mathrm{GL}_n(q)$ にとって $q$ の力 $p$ 順序の要素を持つことはできません $p^2$ そうでなければ $n>p$。したがって、$p$ マトリックスグループのサイズが大きくなります。
それは特徴的な分野ではなく、同様の話です $p$。どれか$1$-グループの次元表現は、カーネルの中心にあります。唯一の忠実な表現は少なくとも程度を持っています$p$。
したがって、このグループには、次数未満の忠実な表現はありません。 $p$ あらゆる分野で。
編集:どのフィールドにも行列表現はありませんが、リングにはあります。このグループはによって与えられます$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$
キース・コンラッドのメモを見て、これを見つけました。