非定数関数はありますか $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ そのような $f(x) = f(x + 1/x)$?
Dec 10 2020
非定数関数を探しています $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ そのような $f(x) = f(x + 1/x)$、またはそのような関数が存在しないことの証明。
交換 $x$ 沿って $1/x$ 私たちが持っている必要があることを示しています $f(x) = f(1/x)$。
私は滑らかな非定数の(非)存在に最も興味があります$f$。
回答
6 TippingOctopus Dec 10 2020 at 07:06
連続関数ごとに1つずつ、無限に多くの連続解が存在する必要があります $g:[1,2]\to \mathbb{R}$ と $g(1)=g(2)$。適切な境界と微分可能条件を課した後$g$、関数をスムーズにすることができます。
しましょう $x_1=1$ そして $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$。その後、$1\le x_n\le n$ 倍音列の発散によって、 $x_n\to\infty$ なので $n\to \infty$。以来$h:t\mapsto t+\frac{1}{t}$ 厳密に増加しています $[1,\infty)$、それぞれ $x\in[1,\infty)$ ちょうど1つに属します $[x_{n+1},x_{n+2})$ そして $x=h^n(y)$ ちょうど1つ $y\in[1,2)$。次に、次のように定義します$f(x)=g(y)$。関係を使用する$f(x)=f(1/x)$、これは $(0,\infty)$。それぞれに連続しているので連続です$[x_n,x_{n+1}]$ エンドポイントで同意します。