汎関数と双対空間についての質問

Question

証明に問題があるという質問があります

場合 $f_1, f_2 ,..., f_n$ 線形独立汎関数です $n$-次元ベクトル空間 $V$ スカラー場に $F$ ベースは常に存在しますか $x_1, x_2,..., x_n$ そのようなVの $$f_i(x_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1 \qquad i=j \\ 0 \qquad i \ne j \end{cases}$$

私は自分の仕事をここに置くべきだと知っていますが、それを証明する方法がわかりません。これは私が2日間で抱えている試験の問題であり、助けていただければ幸いです。

Answer 1

結果に到達するためのいくつかのステップ：

• 証明してください $f_1,\dots,f_n$ の基礎です $V^*$、からのすべての一次関数の空間 $V$ に $\mathbf F$。
• それぞれについて $v \in V$ 定義する $\operatorname{ev}(v) : V^* \to \mathbf F$ 沿って $\operatorname{ev}(v)(\phi) = \phi(v)$、そしてそれを証明する $\operatorname{ev}(v) \in V^{**}$、 どこ $V^{**}$ からのすべての一次関数の空間です $V^*$ に $\mathbf F$。
• 次の場合にそれを証明する $v \in V \setminus \{0_V\}$ それから存在します $\phi \in V^*$ そのような $\phi(v) \neq 0$。結論$\operatorname{ev} : V \to V^{**}$ 単射であり、その後、 $\varphi \in V^{**}$ です $\operatorname{ev}(v_\varphi)$ いくつかのための $v_\varphi \in V$。
• 場合 $\varphi_1,\dots,\varphi_n \in V^{**}$ の双対基底です $f_1,\dots,f_n$、次にそれぞれについて $i$ の間に $1$ そして $n$ しましょう $x_i \in V$ そのような $\varphi_i = \operatorname{ev}(x_i)$、そしてそれを証明する $x_1,\dots,x_n$ の望ましい基礎です $V$。

Answer 2

それぞれのカーネル $f_i$ 寸法があります $n-1$。の最小寸法は何ですか$$\bigcap_{i \neq j} \operatorname{ker}(f_i) \text{ ? }$$

Answer 3

$\textbf{Hint:}$ 以来 $f_{1}, \ldots, f_{n}$ 線形独立であり、 $V^{*}$ 寸法があります $n$、それらはの基礎を形成します $V^{*}$。さあ、$\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{n}$ に $V^{**}$ の双対基底になる $f_{1}, \ldots, f_{n}$。どんな場合でも$v \in V$、「での評価 $v$"線形汎関数：\ begin {equation *} \ begin {split} \ text {ev} _ {v}：＆\ hspace {0.1cm} V ^ {*} \ rightarrow K \\＆\ varphi \ mapsto \ varphi（ v）。\ end {split} \ end {equation *}それぞれを関連付ける線形マップ$v \in V$ に $\text{ev}_{v}$ 間の同型です $V$ そして $V^{**}$。特に、$\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{n}$ この線形写像の画像に属しているので...

Answer 4

しましょう $y_1,y_2,\cdots,y_n$ の基礎となる $X$。次に$A=[f_i(y_j)]$反転可能である必要があります。そうでない場合は、スカラーが存在します$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ それはすべてゼロではないので $$ [f_i(y_j)]\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right] = 0. $$ しかし、それはそれを意味します $\alpha_1 f_1 + \cdots + \alpha_n f_n$ に基づいて消える $\{ y_1,y_2,\cdots,y_n\}$ したがって、 $0$機能的、これは矛盾です。だから、$A$ は可逆であり、線形結合があります $F$ の $f_i$ そのような $F(x_j)=\delta_{j,k}$。そして、これはすべての与えられたものに当てはまります$k=1,2,\cdots,n$。