ヒルベルト空間の閉じていない部分空間を分類することは可能ですか？

Question

しましょう $H$ ヒルベルト空間になります。

非常に不連続な線形汎関数についての私の以前の質問に動機付けられました。これは、で密な超平面を分類する試みとして解釈される可能性があります。$H$、今、私はポイントにまっすぐに行きましょう：

質問。

1. の密な超平面間に有意差はありますか $H$？

2. 場合 $L$ そして $M$ の2つの密な超平面です $H$、ユニタリ作用素マッピングはありますか $L$ に $M$？

3. （2）の答えが否定的であると仮定すると、ユニタリ群の自然な行動のためにいくつの軌道がありますか $\mathscr U(H)$ 密な超平面のセットで？

---

の一般的な（必ずしも閉じたまたは密な）部分空間について話す $H$、その点で言うかもしれないいくつかのことがあります。

たとえば、そのような空間のすべてが有界作用素の範囲として記述されるわけではなく、特に、密な超平面は適格ではありません。これは、そのような演算子の範囲が有限の余次元を持っている場合、それを閉じる必要があるためです（これは閉グラフ定理から簡単にわかります）。

コンパクト演算子の範囲には、無限次元の閉じた部分空間が含まれていないため、部分空間を分類するために使用できるもう1つのプロパティです。

その他の質問。

1. のすべての部分空間の中で有界（またはコンパクト）演算子の範囲を特徴付ける、トポロジー/分析用語で表現された必要十分条件がありますか？ $H$？

2. の非閉部分空間のユニタリ等価クラスの数 $H$ある？これらのうち、トポロジー的/分析的用語で説明できるものはいくつありますか？

Answer 1

コンパクトなケースでは、質問4に対する簡単な答えがあると思います。無限次元の部分空間 $E\subseteq H$ 直交（正規直交ではなく）セットが存在する場合のコンパクト演算子の範囲です $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$、 そのような $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ そして $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ これは、コンパクト演算子のスペクトル定理と、コンパクト演算子の範囲が $T$ の範囲と一致します $|T|$。