ほぼすべての線形マップ $V\rightarrow V$ （そのようなマップの特定のアフィン部分空間で）は可逆です
私は論文を書いています。厳密に言いたい結果がありますが、どうすればいいのかよくわかりません。設定は次のとおりです。
本当のユークリッド空間があります $V$ これは同型です $\mathbb{R}^n$。すべての線形写像のセットを検討してください$\operatorname{L}(V)$ から $V$ それ自体に、これはのセットと同型です $n\times n$ 上の行列 $\mathbb{R}$。これも実際のユークリッド空間であり、$\mathbb{R}^{n^2}$。最後に、$A\subset\operatorname{L}(V)$原点を含まないアフィン部分空間である。（私の論文では、これは本質的にすべての線形写像のアフィン空間です$f:V\rightarrow V$ 満足 $f^*(v)=v$ 非ゼロベクトルのいくつかの固定選択 $v\in V$。）
私が言いたいのはこれです：「ほとんどすべての地図は$A$ 可逆的である（という意味で、誘導されたルベーグ測度に関して $A$、非可逆マップのセットのメジャーはゼロです）。「」
これは確かに真実です。しかし、私の共著者は、これが私が思っているほど些細なことであるとは確信していません---そして、これについて「厳密な」理由を提供したいと思います。
私の推論：私たちは検討するかもしれません $A$ のアフィン部分空間として $\mathbb{R}^{n^2}$。行列式$\operatorname{det}:\mathbb{R}^{n^2}\rightarrow\mathbb{R}$ は多項式であるため、 $\operatorname{det}$ は一定です $A$ または上のゼロのセット $A$メジャーがゼロです。望ましい結果は、行列式がゼロ以外の場合にのみ線形変換が可逆であるという観察結果に基づいています。
これは正当な理由ですか？ここで引用できるアクセス可能なものはありますか？
余談ですが、これがどこから来ているのかをお話ししたいと思います。量子情報理論では、量子チャネルは線形写像です$\Phi:M_m\rightarrow M_m$それは完全にポジティブでトレース保存です。特に、すべての量子チャネルはエルミート保存でもあるため、次のセットの線形マップとして表示できます。$m\times m$実際のユークリッド空間であるエルミート行列。私が言いたいのは次のとおりです。ほとんどすべての量子チャネルは線形写像として反転可能です。（ただし、逆マッピングは通常、チャネルでもありません。）
回答
あなたの場合、これを行う1つの方法があります。あなたが見ている$A_v= \{ T\in L(V) : Tv=v \}$ どこ $v$ゼロ以外のベクトルです。拡張する$v$基礎に。次に、この根拠に関して$T\in A_v$ それが次の形式の行列を持っている場合 $$[T]= \begin{bmatrix} 1 & * \\ 0 &B\end{bmatrix}$$ どこ $B\in M_{n-1}(\mathbb R)$
だからあなたは特定しました $A_v \cong\mathbb R^{n^2-n}$ そして $T\in A_v$ 反転可能である場合 $\det B \neq 0$。つまり、これは、の多項式のゼロセットの補集合です。$\mathbb R^{n^2-n}$ したがって、対策があります $0$。
編集：より一般的なフレームワークであなたの問題を見てみましょう $V$ 無限体上のベクトル空間です $k$ そしてあなたは同じ質問をします。 $L(V)=M_n(k)$ザリスキートポロジーを搭載しています。それは簡単にわかります$M_n(k)$既約です。したがって、空でない開集合はすべて密です。特に$GL_n(k)=\{ T \in L(V) : \det(T)\neq 0 \}$密な開集合です。以来$A \subset M_n(k)$アフィン線形部分空間であり、既約でもあります。だからもし$A\cap GL_n(k)$ 空ではない場合、それはの密な開集合です $A$。結論は、1つの可逆マップの存在により、そのアフィン部分空間内の可逆マップの密度が得られることです。