ほぼ対角行列の固有値[重複]

Question

対角行列の固有値は、単に対角の値であることを私は知っています。ただし、次の形式の行列がある場合：

$$ \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ b & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & e & f \end{bmatrix}. $$この行列の固有値を表現する閉じた形の方法はありますか？対角線に沿った小さなブロックの固有値を導出できますが、それは行列全体とどのように関連していますか？

Answer 1

ブロック対角行列の固有値は、各ブロックの固有値です。対応する固有ベクトルは、ゼロが埋め込まれた各ブロックの固有ベクトルです。例えば：

行列の固有値 $$A = \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ です $7$ そして $1$、および対応する固有ベクトルはそれぞれ $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}.$$

行列の固有値 $$B = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ です $2+\sqrt{2}$、 $2$、および $2-\sqrt{2}$ および対応する固有ベクトルはそれぞれ $$\begin{bmatrix}1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}-1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

行列の固有値 $$\begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$ です $7$、 $1$、 $2+\sqrt{2}$、 $2$、および $2-\sqrt{2}$、および対応する固有ベクトルはそれぞれ $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

Answer 2

ブロック行列がある場合 $$\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix},$$ その特性多項式は $p_A(x)p_B(x)$。