方程式に代入することによる不適解
どうすれば無関係な解決策にたどり着くことができるかというこの例に出くわしましたが、それがどのようにして生じたのか疑問に思いました。次の方程式があります。$$x^2+x+1=0 $$ x = 0は方程式を満たさないため、両側でxで除算すると、次のようになります。 $$x+1+\frac{1}{x}=0$$これは最初の方程式に相当します。最初の式から、次のように結論付けることができます。$$-x^2=x+1$$ これを2番目の方程式に代入して、次の式を取得します。$$x^2=\frac{1}{x}$$ その結果、 $$x^3=1$$xを0にすることはできないため、これは前の方程式と同等です。ただし、最後の方程式の1つの解はx = 1であり、元の方程式の解ではありません。三次方程式を取得し、二次方程式から始めたという事実に関係している可能性があるという漠然とした考えがあります。その手順は次のことを意味し、その逆ではありませんが、その理由について非常に詳細な回答を提供できますか？発生しますか？もっと例を挙げていただけますか？
回答
電話すれば $A(x)=x^2+x+1$ そして $B(x)=x+1+\frac1x$、私たちはあなたのパッセージをそのように図式化することができます： $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$
同等性を維持するためにあなたは維持すべきでしたが $A(x)=0$ に $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$
この置換（$x+1=-x^2$）方程式の根のセットを展開します
なぜなら $-x^2$ またに依存します $x$。
代用できます $x+1=y$、 例えば。
より多くの例、同様の置換が同様の問題を与える場合。
解決する必要があります $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$
私達は手に入れました： $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ または $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ さて、 $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ これは何か悪いことをする可能性があります、私たちは得ます： $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ または $$x(440x^2+630x+189)=0$$ オプションの1つとして取得しました $x=0$。
見やすい $0$ 開始方程式の根ではなく、それが起こった
正しくない置換を使用したため $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$
ここで、方程式のすべての根が $440x^2+630x+189=0$ は開始方程式の根であり、それほど簡単ではありません。
これらの問題を回避したい場合は、次のIDを使用する必要があります。 $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$
方程式のすべての変換は可逆的でなければなりません。と$x=0$、
$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ 結構です。
しかし、2つの方程式を1つに組み合わせる $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ ではありません。