方程式にフーリエ変換を適用する $\nabla\cdot[\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})]=\nabla^2p$

Question

方程式を考えてみましょう

$$\nabla\cdot[\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})]=\nabla^2p,$$

その中で $\mathbf{F}$ 微分可能ベクトル関数であり、 $\delta(\mathbf{r})$ ディラックのデルタ関数です。 $\nabla\cdot$ 発散演算子であり、 $\nabla^2$ ラプラス演算子であり、 $p$ 微分可能なスカラー関数です。

を取得するために、この方程式にフーリエ変換を適用するのは困難です。 $\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{F}=k^2\hat{p}$、 どこ $\hat{}$ 変換された関数を示します。

私が試したことは次のとおりです。

$$\mathcal{F} [\mathrm{LHS}]=\mathcal{F}[(\nabla\delta)\cdot \mathbf{F}+\delta\nabla\cdot\mathbf{F}]=\mathcal{F}[(\nabla\delta)\cdot \mathbf{F}]+\delta \mathcal{F}[\nabla\cdot\mathbf{F}],$$

$$\mathcal{F}[\mathrm{RHS}]=[(\mathrm{i}k_x)^2+(\mathrm{i}k_x)^2]\hat{p}=-(k_x^2+k_y^2)\hat{p}\equiv-k^2\hat{p}.$$

LHSのFTをさらに評価する方法がわかりません。前もって感謝します。

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更新（2020年8月24日）：

FTの定義を適用する： $\hat{f}(\mathbf{k})=\int_{-\infty}^{\infty}f(\mathbf{r})e^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\:\mathrm{d}\mathbf{r}$

それぞれLHSとRHSで：

$$\mathcal{F}\{\nabla\cdot [\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})]\}=\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathcal{F}[\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})]=\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\int_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})e^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\:\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\left(\mathbf{F}e^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \right)\vert_{\mathbf{r}=\mathbf{0}}=\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{F}(\mathbf{0}),$$

そして

$$\mathcal{F}[\nabla^2p]=(\mathrm{i}\mathbf{k})\cdot(\mathrm{i}\mathbf{k})\int_{-\infty}^{\infty}p e^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\:\mathrm{d}\mathbf{r}=-k^2\hat{p}.$$

その結果 $\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{F}(\mathbf{0})=-k^2\hat{p}$、これは負の符号によって期待される結果とは異なります。

Answer 1

私たちが持っていることに注意してください

$$\begin{align} \mathscr{F}\{\nabla \cdot (\vec F\delta)\}&=\mathscr{F}\{i\vec k\cdot \vec F\delta\}\\\\ &=i\vec k\cdot \vec F(0) \end{align}$$

または、注意してください

$$\begin{align} \mathscr{F}\{\nabla \cdot (\vec F\delta)\}&=\mathscr{F}\{\vec F\cdot \nabla (\delta)+\delta \nabla\cdot \vec F\}\\\\ &=-\left.\left(\nabla \cdot (e^{-i\vec k\cdot \vec r}\vec F(\vec r))\right)\right|_{\vec r=0}+\left.\left(\nabla \cdot (\vec F(\vec r))\right)\right|_{\vec r=0}\\\\ &=i\vec k\cdot \vec F(0) \end{align}$$

予想通り！