方程式の一般的な整数解の証明𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑁[重複]

Question

与えられた $a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}$ そして $N\in\mathbb{Z}$、それを示すのは簡単です $x_0,y_0\in\mathbb{Z}$ に対する特定の解決策です $ax+by=N$、その後 $x=x_0+\frac{b}{d}t$ そして $y=y_0-\frac{a}{d}t$、 どこ $d=gcd(a,b)$ そして $t\in\mathbb{Z}$、の解決策でもあります $ax+by=N$。

しかし、それらが実際に一般的な解決策であることを証明する方法を尋ねてもよいですか？ $ax+by=N$ 内部のソリューションを制限する場合 $\mathbb{Z}$？（つまり、すべての整数解がカウントされています）

ありがとう！

Answer 1

Aをすべての順序対整数解のセットとします。Bを、指定した形式のみの整数解のすべての順序対のセットとします。私たちは知っています$B \subseteq A$

最初に方程式のすべての有理解を見つけ、次にそれらを制限します。

しましょう

$x=x_0+bu$

ために $u \in\mathbb{Q}$

これは、任意の有理数xのuについて解くことができます。

そして、

$ax+by=N$

$a(x_0+bu)+by=N$

$y=\frac{N-a(x_0+bu)}{b}$

$y=\frac{by_0-abu}{b} = y_0-au$、これも合理的です。

したがって、Aのすべての要素は次のように書くことができます。 $(x_0+bu,y_0-au)$ いくつかの合理的なuのために。

だからしましょう $(x_0+bu,y_0-au) \in A$

必要です

$bu \in \mathbb{Z}$

$au \in \mathbb{Z}$

書く $u=\frac{m}{n}$。これが最低条件であると仮定します

そう

$\frac{bm}{n} \in \mathbb{Z}$

$\frac{am}{n} \in \mathbb{Z}$

そう $n|b$ そして $n|a$

つまり、 $n|d$ どこ $d=gcd(a,b)$

我々は書ける $rn=d$ ある整数rの場合

そう $n = \frac{d}{r}$

$\frac{bm}{n} = \frac{b}{d}(rm)$

$\frac{am}{n} = \frac{a}{d}(rm)$

だから $t=rm$、 私達はことを知っています $(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t) \in B$

そう $A \subseteq B$ 私たちに $A=B$。