ほとんどすべてのゼロ関数のシーケンスの一様収束

Question

しましょう $B([a , b])$ 閉じた有界区間からの有界関数と可測関数の空間である $[a , b]$ に $\mathbb R$supノルムに恵まれています。これがバナッハ空間であることを私は知っています。

ここで、次のベクトル部分空間について考えます。 $B([a , b])$：

$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$

それを示す方法 $L_{0}$ の閉じた部分空間です $B([a , b])$。

私の試みは次のとおりです。

しましょう $f \in B([a , b])$ の限界点になる $L_{0}$。次に、シーケンスがあります$( f_{n} )$ に $L_{0}$ そのような $f_{n} → f$ 均一に、したがって $f_{n} (x) = f (x)$ すべてのために $x \in [a , b]$。今から$f_{n} = 0$ すべてのae $n\in\mathbb N$ また、完全なメジャーサブセットの可算共通部分は完全なメジャーサブセットであるため、 $f = 0$ae間違っている場合は、訂正していただければ幸いです。助けてくれてありがとう。

Answer 1

しましょう $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ のシーケンス $L_0$ 関数に収束する $f$。特に、$f_n(x)\to f(x)$ ae、したがって $f=0$ aeしたがって、 $L_0$ 順次閉じられるため、閉じられます。