標準および内積空間の定義
Dec 26 2020
私は約いくつかのウィキペディアのページ読んでいたノルム線型空間とインナー製品のスペースをと、定義では、彼らは常にどちらかの上にベクトル空間について話します$\Bbb R$ または $\Bbb C$。
これは、有用な標準内積空間のほとんどが終わったためです $\Bbb R$ または $\Bbb C$ または、それらのスペースは、それらの特定のフィールド上のベクトル空間に対してのみ定義されていますか？
編集：この投稿のコメントでこのトピックについて議論した後、私は私の質問を言い換えたいと思います：
しましょう $V$ 体上の多元環である $\mathbb F$。どのような条件が必要ですか$\Bbb F$ 必要かどうかを確認します $V$内積空間になれるようにするには？ノルムベクトル空間はどうですか？
回答
philip98 Jan 01 2021 at 01:02
私はそれがどんなノルムフィールドでも機能すると信じています（少なくともノルム空間、内積空間については、複雑な共役のためにいくつかの一般化が必要になるので、私にはわかりません）。ノルムフィールド$k$ 規範を備えた分野です $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ そのような
- $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
- $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
- $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$
あなたの分野の場合 $k$ 離散付値があります $\nu$ 定義することで規範を構築できること $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ ポジティブな場合 $a$..。
いずれにせよ、ブルバキが最も一般的な定義を提供すると確信しています。
そして、あなたが規範がマップする条件を緩和したい場合 $\mathbb{R}_{\ge0}$、それを行う方法もあると思います。それをある種の完全に順序付けられたセミリングにマップするだけです...